冬休みの過ごし方

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今年も残すところあとわずかです。年末年始を楽しみにしている子供たちも多いと思います。そこで、気をつけたいのが体調管理です。

この時期は空気が乾燥するためインフルエンザなどに注意が必要です。年末年始を楽しく過ごすためにも、手洗い・うがいをしっかりして予防するようにしましょう。


受験生にとってはいよいよ入試が迫ってきました。体調管理に気をつけて、最後の追い込みを頑張ってください。











皆様、良いお年をお迎えください。

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必要条件と十分条件

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今回は、必要条件と十分条件についてです。









命題p⇒qが真であるとき、qはpであるための必要条件、pはqであるための十分条件といいます。しかし、生徒にとってこれがややこしく感じるようで、必要条件なのか十分条件なのかわからなくなってしまうようです。

そこで、少しでもわかりやすくなるように次のような命題を例に挙げてみましょう。

p:「ビールを飲む」q:「20歳以上」とすると、p⇒qは真となります。「ビールを飲む」ならば「20歳以上」でなければいけません。よって、この命題は正しいです。


では、「20歳以上」であることは「ビールを飲む」ためには必要条件ですよね。逆に「ビールを飲む」ことは「20歳以上」であるための必要条件ではありません。20歳以上であるためにはビールを飲むことが必要というのはおかしい話です。別に飲めなくても20歳以上であるために関係しません。よって十分条件です。











この命題の逆は成立しません。すなわち、q⇒pは偽となります。このことからも上の結論が得られると思います。

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放射性元素の崩壊と微積分

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今回は、放射性元素の崩壊と微積分についてです。









kを0でない定数とするとき、指数関数f(x)=e^kxを微分すると
　　　　　　　　　f'(x)=ke^kx=kf(x)
となります。

この関係f'(x)=kf(x)は、放射性元素の崩壊現象など、自然現象にもよく現れます。yをxの関数、kを0でない定数とするとき、次の微分方程式を解いてみましょう。
　　　　　　　　　　　　y'=ky

(i) y=0は明らかに解となります。
(ii) y≠0のとき、方程式を変形すると
　　　　　　　　(1/y)dy/dx=k
両辺をxで積分すると
　　　　　　∫(1/y)dydx/dx=∫kdx
　　　　　　　　　　　∫dy/y=∫kdx
　　　　　　　　　　　log|y|=kx+C　（Cは任意定数）
                                      |y|=(e^C)e^kx
                                         y=±(e^C)e^kx

ここで、±e^C=AとおくとAは0以外の任意の値をとります。(i)で求めた解y=0は、y=Ae^kxにおいて、A=0とおくと得られます。したがって、求める解はy=Ae^kx, Aは任意定数となります。


ところで、同じ原子核では、同一時間内に崩壊する原子核の数は、そのとき存在する原子核の数に比例します。

よって崩壊の式は、t=0における放射性原子核の数をN0, 時刻tにおいて崩壊しないで存在する数をN, 半減期をTとすると
　　　　　　　　　　N=N0(1/2)^t/T
となります。












y=Ae^kxと崩壊の式を比較してみると、微分方程式y'=kyと関係が深いことが分かります。

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交流回路と微積分

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今回は、交流回路と微積分についてです。









前回、誘導起電力の式
　　　　　　　　　　V=V0sinωt　…①
を微分によって求めることができました。今回は、交流回路におけるコイルに流れる電流の式とコンデンサーに流れる電流の式を、微積分を用いてそれぞれ求められることを説明します。


コイルに流れる電流が変化するとき、その変化を打ち消す向きにコイルに誘導起電力が生じます。これを自己誘導といいます。そこで、コイルに生じる誘導起電力を考えます。

I[A]の電流が流れているソレノイドコイル（単位長さ当たりの巻数n, 長さℓ）内部の磁束密度はB=μ0nI（μ0は真空の透磁率）となります。

コイルを貫く磁束はΦ=BS=μ0nIS, コイルの巻数N=nℓですから、時間Δt[s]の間に電流がΔI[A]変化するとき、ファラデーの電磁誘導の法則により
　　　　　　　V=-NΔΦ/Δt=-nℓμ0nSΔI/Δt
ここでμ0n^2ℓS=Lとおくと V=-LΔI/Δt となります。

この式の比例定数Lはコイルの自己誘導の大きさを表し、これを自己インダクタンスといいます。この式は、誘導起電力Vが電流Iの時間tに対する平均変化率であることを表しています。したがって、瞬間の変化率は
　　　　　　　　　　VL=-LdI/dt　…②
となります。


①、②式より、コイルに流れる電流の式を求めることができます。まず、回路に電流が流れるということは、1周して戻ってくると電位が元通りになる（キルヒホッフの法則）ということだから
                          V+VL=0
                                V=-VL=LdI/dt
                ∴　dI/dt=V/L=V0sinωt/L　…③

③式の両辺を時間tで積分すると
                            I=∫V0sinωtdt/L
                              =(V0/L)∫sinωtdt
                              =V0(-cosωt)/ωL
ここで、-cosωt=sin(ωt -π/2)より
                 I=I0sin(ωt -π/2)　（ただし、V0/ωL=I0）


次に、平行板コンデンサーの極板の向かい合う面上にたまった電荷によって、極板間に一様な電場が生じます。

極板の電気量をQ[C], 面積をS[㎡]とすると、極板間の電場の強さE[V/m]は
                               E=4πkQ/S　…④
となります。

極板間の電位差をV[V], 間隔をd[m]とすると、④式から
                               V=Ed=4πkdQ/S
となります。

ゆえに、Q=SV/4πkdとなるから、QはVに比例します。この比例定数をCとおくと
                       Q=CV　…⑤　（ただし、C=S/4πkd）
Cをコンデンサーの電気容量といいます。

また、電流Iは電気量Qを時間tで微分することによって得られるから
                             I=dQ/dt　…⑥


①、⑤、⑥式より、コンデンサーに流れる電流の式を求めることができます。
I=dQ/dt=CdV/dt=CV0dsinωt/dt=ωCV0cosωt
ここで、cosωt=sin(ωt+ π/2)より
　　　　　　I=I0sin(ωt+ π/2)　（ただし、ωCV0=I0）


抵抗値Rの抵抗、自己インダクタンスLのコイル、電気容量Cのコンデンサーを直列に接続し、これに交流電源をつないだとき、流れる電流をI=I0sinωtとすると、抵抗に加わる電圧VRは、オームの法則より
　　　　　　　　　　VR=RI0sinωt
コイルに加わる電圧VLは、
　　　　　　　　　　VL=ωLI0sin(ωt+ π/2)
コンデンサーに加わる電圧VCは
　　　　　　　　　　VC=(I0/ωC)sin(ωt- π/2)
と表されます。










回路に加わる電圧 V=VR+VL+VC を計算すると、交流回路のインピーダンスを求めることができます。　

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12月模試 受験のすすめ

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今年も残り1ヶ月を切りました。年明けからは本格的に受験シーズン到来です。受験生の皆さんは今まさに追い込みをかけていると思います。

そこで、ぜひ12月の模試を受けてください。出題範囲は各教科ともほとんど本番と変わりません。ですから、本番に近い形で受験することができます。


年内最後の模試で今の自分の実力を確認し、年明けに向けて仕上げていきましょう。











12月の模試は必ず受けるようにしましょう。

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水と水蒸気の体積比

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今回は、水と水蒸気の体積比についてです。








水から水蒸気に変わると、体積は水の約1700倍になると言われています。なぜそうなるのか確かめてみましょう。


考えやすくするために、標準状態（0℃, 1atm）で1molの水を沸騰させて水蒸気にします。このときの水の質量は18gになります。（水の分子量が18より）

水の場合、体積は1gあたり10^-6㎥（1㎤）ですから、18gなら 18×10^-6㎥になります。


次に、水蒸気の体積を求めます。求めるには理想気体の状態方程式を用います。100℃, 1atmで1molの水蒸気の体積Vは、pV=nRTより
　　　　　V=1×8.3×(100+273)/1.013×10^5
  　　　　　≒31×10^-3㎥
（ただし、1atm=1.013×10^5Pa, 気体定数R=8.3J/(mol･K)とします）
になります。

実際は、100℃になると体積は若干膨張しますが、ほぼ同じなので18gの水が水蒸気になったと仮定しています。


最後に、体積比を求めると
31×10^-3/18×10^-6≒1722
となります。











確かに、水から水蒸気に変わると、体積は約1700倍になることがわかります。

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冬期講習のお知らせ

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綾瀬個別指導学院では、12/25（火）～28（金）、1/4（金）5（土）7（月）8（火）にかけて冬期講習を実施致します。







皆様、是非ご参加ください。

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ガウスの法則と微積分

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今回は、ガウスの法則と微積分についてです。










高校物理では、電気量Q[C]の帯電体から出る電気力線の総数は4πkQ本であると学びます。説明は次のようにされると思います。


正電荷を中心とする半径r[m]の球面S上では、電場の方向は球面Sに垂直で、電場の強さはクーロンの法則により
　　　　　　　　E=kQ/r^2 [N/C]　…①
となります。

Sを貫く電気力線の数は単位面積当たりE本であると定義し、Sの面積は4πr^2[㎡]ですから、Sを貫く電気力線の総数をN本とすると
　　　　　　　N=E×4πr^2=4πkQ　…②
となります。


これが高校物理での説明になります。しかし、ガウスの法則は一般に積分形で表されます。微積分を用いてもう少し掘り下げて説明したいと思います。


電荷Qを持つ点電荷からはN本の電気力線が出ているとします。電荷から発生する電気力線の本数は電荷の大きさに比例するとしたので、比例係数を1/εとして
　　　　　　　　　　　　N=Q/ε
とします。

この点電荷を中心として、半径rの球面Sでの電気力線の密度について考えます。球面Sの面積は4πr^2ですから、電気力線の密度は
　　　　　　　　N/4πr^2=Q/4πεr^2
となります。

ここで、①、②式より次の関係式が成り立ちます。
　　　　　E=N/4πr^2=kQ/r^2=Q/4πεr^2

これにより、両者の比例係数の間には
　　　　　　　　　　　　k=1/4πε
という関係式が成り立ちます。kはクーロンの法則の比例定数といい、εは誘電率といいます。


ここまでが準備段階です。ガウスの法則を説明する前段階として、微小な面積dSを持つ曲面を考えます。微小面積dS上では、それを垂直に貫く電場Eが存在し、Eは電気力線の密度を表しているので、この面を垂直に貫く電気力線の本数dNは
　　　　　　　　　　　　dN=EdS
と表すことができます。

次に、微小な面積を持つ平面をつなぎ合わせてある閉曲面Sを作ったとします。この曲面Sを垂直に貫く電気力線の本数Nは
　　　　　　　　　　N=∫dN=∫SEdS
と表すことができます。

ここで、∫Sは積分を閉曲面Sの領域全てに適用することを意味します。


いよいよ本題です。ガウスの法則とは、「ある閉曲面を垂直に貫く電気力線の本数はその曲面の内部に存在する電荷の総量Qに比例し、Q/εに等しい」ことであり、積分形で表すと次のようになります。
　　　　　　　　　　　∫SEdS=Q/ε

ただし、今までの説明は全て点電荷におけるガウスの法則です。一般的な形とは異なりますので、ご注意ください。


最後に、点電荷において閉曲面を垂直に貫く電気力線の本数は
　　　　　　　　　　　　∫SEdS
です。さらに、∫SdSはガウスの法則を適用している曲面の面積を意味しているので
　　　　　　　　　　　∫SdS=4πr^2
　　　　　　　　 ∴　∫SEdS=E4πr^2
となります。

ガウスの法則を適用すると
　　　　　　　　　　　∫SEdS=Q/ε
　　　　　　　　　　E4πr^2=Q/ε
                          ∴　E=Q/4πεr^2


このようにして、ガウスの法則を適用することである曲面上における電場を求めることができます。この結果は、クーロンの法則で与えた点電荷による電場そのものになります。














つまり、クーロンの法則は点電荷に対してガウスの法則を適用した結果として得られる法則なのです。

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錐体の体積と積分

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今回は、錐体の体積と積分についてです。








積分は面積だけでなく、体積も求めることができます。

ある立体が区間a≦x≦bにおいて、座標がxである点を通りx軸に垂直な平面による立体の切り口の断面積をS(x)とすると、体積Vは次の式で与えられます。
　　　　　　　　　V=∫(a~b)S(x)dx

なぜこうして求められるのか簡単に説明します。


区間a≦x≦bをn等分し、その分点の座標をaに近い方から順にx1, x2, …, xn-1 とします。また、a=x0, b=xn, (b-a)/n=Δx とおきます。そして、各分点を通りx軸に垂直な平面でこの立体を分割します。このとき
                                                                                    n
Vn=S(x1)Δx+S(x2)Δx+…+S(xn)Δx=∑S(xk)Δx
                                                                                  k=1
とすると、n→∞のときVn→Vと考えられます。したがって、区分求積法と定積分の関係から
                                n
V=lim(n→∞)∑S(xk)Δx=∫(a~b)S(x)dx
                              k=1
となります。


では、実際に錐体の体積を積分を用いて求めてみましょう。底面積がS, 高さがhの錐体において、座標がxである点を通りx軸に垂直な平面による錐体の切り口の断面積をS(x)とします。この断面と底面は相似になります。

よって、断面と底面の相似比はx:hですから、面積比はS(x):S=x^2:h^2

よって　S(x)=Sx^2/h^2

したがって
V=∫(0~h)S(x)dx=(S/h^2)∫(0~h)x^2dx
  =(S/h^2)[x^3/3](0~h)=Sh/3










錐体の体積は÷3をする理由が、積分によって説明することができます。

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運動方程式とエネルギー保存則

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今回は、運動方程式とエネルギー保存則についてです。










エネルギー保存則は、運動方程式 ma=F の両辺に速度vを掛けて時間tで積分することで導くことができます。
　　　　　　　　　　　mav=Fv
　　　　　  d(mv^2/2)/dt=Fdx/dt　…①

次に、①式の両辺をtで積分すると
             ∫d(mv^2/2)dt/dt=∫Fdxdt/dt　…②

ここで、②式の右辺は ∫Fdx であり、物体がされた仕事Wと一致します。左辺は初速度をv0, 変化した速度をvとすると、②式は
　　　　　(mv^2/2)-(mv0^2/2)=W　…③
となり、物体の運動エネルギーの変化は、物体がされた仕事に等しいことがわかります。

また、保存力の定義 F=-dU/dx より
　　　　　　　W=∫Fdx=-∫dUdx/dx=U0-U
となります。


この式と③式から次の式が得られます。
　　　　　　(mv0^2/2)+U0=(mv^2/2)+U
ただし、U0は保存力を受ける前の位置エネルギー、Uは保存力を受けた後の位置エネルギーです。










この式が表すことは、物体に加わる力が保存力のみである場合、物体の力学的エネルギーは保存されるということがわかります。

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運動方程式と運動量保存則

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今回は、運動方程式と運動量保存則についてです。









運動量保存則は、運動方程式 ma=F の両辺を時間tで積分することで導くことができます。
　　　　　　　　　　m∫adt=∫Fdt　…①

ここで、力積Iは、力Fと時間tの関係を示したF-t図の面積から求められるので、①式は
　　　　　　　　　m∫dvdt/dt=I　…②
と表すことができます。

さらに、力積を受ける前の速度をv, 力積を受けた後の速度をv'とすると、②式は
　　　　　　　　　　　mv'-mv=I　…③
となり、運動量の変化は受けた力積に等しいことがわかります。


最後に、物体A, Bが衝突する前後で、A, Bの運動量の和は変わらないことを次のように示します。

速度v1で運動する質量m1の物体Aが、速度v2で運動する質量m2の物体Bに追いついて衝突し、速度がそれぞれv1', v2'になったとします。

このとき、BがAから受ける力をFとすると、作用・反作用の法則によって、AがBから受ける力は-Fとなります。③式から、このときの運動量の変化と力積の関係は、
　　　　　　　Aについて　m1v1'-m1v1=-I
　　　　　　　Bについて　m2v2'-m2v2=I
となります。

この2式を辺々加えると、次の式が得られます。
　　　　　　　　m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'










この式が表すことは、全体の運動量は変化しない、すなわち運動量が保存されるということがわかります。

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運動方程式と力学的エネルギー保存則

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今回は、運動方程式と力学的エネルギー保存則についてです。








力学的エネルギー保存則は、運動方程式から導くことができます。まず、次のような運動方程式を立てます。
　　　　　　　　　　ma=-kx+mg
これは重力mgと弾性力-kxが働いている物体の運動方程式です。

この運動方程式の両辺に速度vを掛けます。
　　　　　　　　　mav=-kxv+mgv　…①

次に、両辺を微分形で表します。①式は
　　d(mv^2/2)/dt=d(-kx^2/2 +mgx)/dt　…②
と微分形で表すことができます。

左辺は運動エネルギー、右辺は弾性力による位置エネルギーと重力による位置エネルギーのそれぞれ時間微分の形になっています。なぜこうなるのか確かめてみましょう。


まず、②式の左辺は
d(mv^2/2)/dt=(m/2)dv^2/dt
　　　　　　　  =(m/2)2vdv/dt=mav
となるので、①式の左辺と同じになります。

次に、②式の右辺は
d(-kx^2/2 +mgx)/dt=d(-kx^2/2)/dt +d(mgx)/dt
                                  =(-k/2)dx^2/dt +mgdx/dt
                                  =-kxv+mgv
となるので、①式の右辺と同じになります。


最後に、②式の右辺を左辺に移項すると
              d(mv^2/2 +kx^2/2 -mgx)/dt=0
という形になります。










この式が表すことは、運動エネルギーと位置エネルギーの和（力学的エネルギー）を、時間微分したら0になるということです。つまり、力学的エネルギーは常に一定になるので、力学的エネルギーは保存されるということがわかります。

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仕事と微積分

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今回は、仕事と微積分についてです。








前回、物理における仕事の定義は、ベクトルの内積であることを説明しました。しかし、仕事には別の求め方があります。

力がする仕事は、横軸に移動距離x, 縦軸に力FをとったF-x図における面積で表されます。したがって、x=aからx=bまで物体が移動するときに、力がする仕事は積分を用いて次のように求めることができます。

　　　　　　　　　W=∫(a~b)Fdx


では、具体的にいくつか例を挙げていきます。

1つ目は、弾性力のする仕事です。ばねが物体にする仕事Wは、ばねが自然の長さの位置からa[m]伸びたとき、次のように求められます。
　　W=∫(a~0)(-kx)dx=[-kx^2/2](a~0)=ka^2/2

ここで、力に-kxと負の符号をつけたのは、力の向きが負の向きであるからです。

2つ目は、コンデンサーを充電するときの仕事です。コンデンサーを充電するときの仕事Wは、次のように求められます。
　　W=∫(0~Q)Vdq=∫(0~Q)(q/C)dq
　　　=(1/C)[q^2/2](0~Q)=Q^2/2C=CV^2/2


最後は、万有引力のする仕事です。地球の中心から距離aの点にある物体がもつ万有引力による仕事Wは、無限遠点を基準にとると、次のように求められます。
　　W=∫(∞~a)(GMm/r^2)dr=GMm[-1/r](∞~a)
　　　=-GMm/a
（ただし、lim(r→∞)(-1/r)=0）

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電磁誘導と微積分

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今回は、電磁誘導と微積分についてです。

一様な磁場内でコイルを一定の速さで回転させたときに発生する誘導起電力は、微積分を用いて容易に求めることができます。


まず、1巻きのコイルを貫く磁束Φが時間Δtの間にΔΦだけ変化するときの誘導起電力Vは
　　　　　　　V=-ΔΦ/Δt　（ファラデーの電磁誘導の法則）
です。この式は、誘導起電力Vが磁束Φの時間tに対する平均変化率であることを表しています。

したがって、瞬間の変化率は
　　　　　　　　　　V=-dΦ/dt
のように、Φをtで微分することによって得ることができます。


上図のコイルの辺の長さをl, 2rとすると、コイルの面積は2rlですから、コイルを貫く磁束は
　　　　　　　　　　Φ=B×2rlcosωt
となります。

したがって、誘導起電力は
　　　　　　V=-dΦ/dt=2Brlωsinωt=V0sinωt
と求められます。（ただし、V0=2Brlω）

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フィボナッチ数列

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今回は、フィボナッチ数列についてです。

生まれたばかりの1対のウサギが、生後2ヶ月目から毎月、1対のウサギを産み、生まれた1対のウサギもまた生後2ヶ月目から毎月、1対のウサギを産むとします。

このときウサギの対の数は「1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …」と増えます。この数列は、フィボナッチ数列と呼ばれていて、前2つの項の和が次の項になります。

この数列は自然界にもよく現れ、とても不思議な性質をもっています。この数列において、隣り合う2項の比を計算すると、次のようになります。

13/8=1.625,  21/13=1.615…,  34/21=1.619…,  55/34=1.617…

この比は黄金比と呼ばれる値 (1+√5)/2 に近づいていくことが知られています。











皆さんも、この数列の第20項までを求めて確かめてみましょう。

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ベクトルの内積と仕事

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今回は、ベクトルの内積と仕事についてです。








私たちが物を運ぶとき、物が重いほど、または遠くへ運ぶほど、大きな仕事をしたと感じます。しかし、物理という学問では、仕事の定義を次のように考えます。


物体にベクトルaで表される力が働いて、物体にベクトルbで表される平行移動が起こったとき、内積a･bをこの力のした仕事といいます。


さて、重い物を持ったまま平らな地面をどんなに歩いても、「物を持つ力がした仕事は0だよ」なんて言われたら、困りますよね。実際に上の定義で計算してみましょう。


まず、内積の定義は　a･b=|a||b|cosθ　となります。そこで、物体を持ち上げる力をF[N], 平らな地面を歩く距離をx[m]とすると、なす角θは90°になります。上の定義で計算すると、
　　　　　　　　　Fxcos90°=F･x･0=0









残念ながら物理における仕事の定義では、「物を持つ力がした仕事は0」になります。

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