2021年5月28日金曜日

正n角形と円の面積

 綾瀬個別指導学院 糸井です。


今回は、正n角形円の面積についてです。



半径r内接する正n角形を考えます。ここで、n限りなく大きくしていくと、この正n角形はほとんど見分けがつかなくなります。具体例として、正65537角形の形状は、辺の数が非常に多いためほとんど円と見分けがつきません。


では、この正n角形の面積Snとすると、Sn
       Sn=(1/2)r²sin(2π/n)×n
と表されます。この式でn→∞とするとき、Sn→πr²円の面積)となることを確かめてみましょう。


2π/n=θとすると、n→∞のときθ→0となります。したがって

limSn=lim{(1/2)r²sin(2π/n)×n}
n→∞   n→∞ 
        =lim{(1/2)r²sinθ×(2π/θ)}
          θ→0
        =lim{πr²×(sinθ/θ)}
          θ→0
        =πr²








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2021年5月26日水曜日

テレビが電波障害を受けやすい理由

 綾瀬個別指導学院 糸井です。


今回は、波の回折についてです。

波が隙間障害物の背後にまわりこむ現象のことをいいます。隙間狭いほど、波長長いほど目立って現れます。



ここからが本題です。よくラジオよりテレビのほうが電波障害を受けやすいのはなぜでしょうか。理由は、波の回折から説明がつきます。

テレビの電波(超短波)は、ラジオの電波(中波)に比べて波長極めて短いのです。そのため、障害物に当たったときにテレビの電波のほうが回折しにくいのです。ラジオよりテレビのほうが、建物や山などが障害となって受信しにくくなるのはこのためです。






ちなみに、FMラジオはテレビと同じ超短波であり、中波なのはAMラジオです。










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2021年5月25日火曜日

数学と物理の境界線 #4「電磁誘導」

 綾瀬個別指導学院 糸井です。


今回は、電磁誘導における微積分の応用例を紹介します。




1巻きのコイルを貫く磁束Φが、時間Δtの間にΔΦだけ変化するときの誘導起電力V
          V=-ΔΦ/Δt
と表されます。したがって、瞬間の変化率は
          V=-dΦ/dt
のように、Φt微分することによって得ることができます。


コイルを貫く磁束が Φ=BScosωt であるとき、誘導起電力V
       V=-dΦ/dt=ωBSsinωt=V₀sinωt
と求められます。











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2021年5月20日木曜日

レンズと像の倍率 公式

 綾瀬個別指導学院 糸井です。


今回は、レンズでできる像の倍率についてです。




スクリーンにうつる像の大きさは、計算で求められます。知っていると役に立つ像の倍率公式を紹介します。


レンズから物体までの距離をa、レンズからスクリーンまでの距離をbとすると、像の倍率m
          m=b/a
によって求まります。


例えば、a=15㎝b=30㎝のとき、m=30/15=2となり、像の大きさは実物の2倍だとわかります。









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2021年5月19日水曜日

炎色反応の原理

綾瀬個別指導学院 糸井です。

今回は、炎色反応原理についてです。




高校化学では様々な物質のについて学びますが、高校までで説明ができるレベルではないので、語呂合わせなどで丸暗記すると思います。(沈殿・錯イオンの色など)

しかし、物質が特有のを示す反応には原理があります。そこで、高校レベルでも簡単に説明がつく炎色反応原理をお話しします。


炎色反応とは、アルカリ金属やアルカリ土類金属、銅などの金属を炎の中に入れると、各金属元素特有のを示す反応のことです。炎色反応語呂合わせは以下の通りです。

リアカー(Li )無き(Na 黄)K村(K 赤紫)。動力(Cu 青緑
借ると(Ca 橙赤)するも、くれない(Sr 紅)馬力(Ba 黄緑


では、反応の原理を説明します。

高温の炎の中に金属を入れると、原子は熱エネルギーによって電子が励起し、外側の電子軌道に移動します。

励起した電子はエネルギーをとして放出することで基底状態に戻り、この際に元素に特徴的な輝線スペクトルを示します。したがって、炎色反応には元素の波長が関係しています。(詳しくは、高校物理で学習します。)








炎色反応は花火の着色に利用されています。








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2021年5月17日月曜日

数学と物理の境界線 #3「運動方程式と等加速度直線運動」

 綾瀬個別指導学院 糸井です。


今回は、運動方程式を用いて、等加速度直線運動の式を求めてみましょう。



まず、一直線上の運動の運動方程式は ma=F と表され、a=F/m となります。


一般に、加速度a時間t積分すると速度vが得られます。また、vt積分すると変位xが得られます。したがって、F/m積分することで速度vが得られます。


等加速度直線運動では加速度 F/m=a が一定であるから、時間t積分すると
          v=∫adt=at+C₁
速度vが求められます。積分定数C₁は、t=0のときv=v₀とすると、C₁=v₀と決めることができます。したがって、v=at+v₀ が得られます。

また、vt積分すれば変位xが得られます。すなわち
       x=∫vdt=∫(at+v₀)dt=at²/2+v₀t+C₂
となります。t=0のときx=0とすると、C₂=0となるから x=at²/2+v₀t が得られます。









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2021年5月8日土曜日

サイフォンの原理

綾瀬個別指導学院 糸井です。

今回は、サイフォンの原理についてです。



サイフォンとは、隙間のないを利用して、液体をある地点から目的地まで、途中出発地点より高い地点を通って導く装置のことです。この仕組みをサイフォンの原理といいます。






この原理を簡単に説明すると、高い位置にの入った水槽、低い位置に空の水槽を用意します。そこで満たした管でつなぎます。すると、水槽の大気圧によって押し上げられます。押し上げられたの量より、流れ落ちるの量の方が多いので重くなります。よって、重い方が重力大きくなり、高い位置にある水槽から低い位置にある水槽の方に移ります。





サイフォンの原理は、灯油ポンプやコーヒーなど身近で利用されています。






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