仕事と微積分

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、仕事と微積分についてです。








前回、物理における仕事の定義は、ベクトルの内積であることを説明しました。しかし、仕事には別の求め方があります。

力がする仕事は、横軸に移動距離x, 縦軸に力FをとったF-x図における面積で表されます。したがって、x=aからx=bまで物体が移動するときに、力がする仕事は積分を用いて次のように求めることができます。

　　　　　　　　　W=∫(a~b)Fdx


では、具体的にいくつか例を挙げていきます。

1つ目は、弾性力のする仕事です。ばねが物体にする仕事Wは、ばねが自然の長さの位置からa[m]伸びたとき、次のように求められます。
　　W=∫(a~0)(-kx)dx=[-kx^2/2](a~0)=ka^2/2

ここで、力に-kxと負の符号をつけたのは、力の向きが負の向きであるからです。

2つ目は、コンデンサーを充電するときの仕事です。コンデンサーを充電するときの仕事Wは、次のように求められます。
　　W=∫(0~Q)Vdq=∫(0~Q)(q/C)dq
　　　=(1/C)[q^2/2](0~Q)=Q^2/2C=CV^2/2


最後は、万有引力のする仕事です。地球の中心から距離aの点にある物体がもつ万有引力による仕事Wは、無限遠点を基準にとると、次のように求められます。
　　W=∫(∞~a)(GMm/r^2)dr=GMm[-1/r](∞~a)
　　　=-GMm/a
（ただし、lim(r→∞)(-1/r)=0）

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