運動方程式とエネルギー保存則

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、運動方程式とエネルギー保存則についてです。










エネルギー保存則は、運動方程式 ma=F の両辺に速度vを掛けて時間tで積分することで導くことができます。
　　　　　　　　　　　mav=Fv
　　　　　  d(mv^2/2)/dt=Fdx/dt　…①

次に、①式の両辺をtで積分すると
             ∫d(mv^2/2)dt/dt=∫Fdxdt/dt　…②

ここで、②式の右辺は ∫Fdx であり、物体がされた仕事Wと一致します。左辺は初速度をv0, 変化した速度をvとすると、②式は
　　　　　(mv^2/2)-(mv0^2/2)=W　…③
となり、物体の運動エネルギーの変化は、物体がされた仕事に等しいことがわかります。

また、保存力の定義 F=-dU/dx より
　　　　　　　W=∫Fdx=-∫dUdx/dx=U0-U
となります。


この式と③式から次の式が得られます。
　　　　　　(mv0^2/2)+U0=(mv^2/2)+U
ただし、U0は保存力を受ける前の位置エネルギー、Uは保存力を受けた後の位置エネルギーです。










この式が表すことは、物体に加わる力が保存力のみである場合、物体の力学的エネルギーは保存されるということがわかります。

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