運動方程式と等加速度直線運動

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、運動方程式と等加速度直線運動についてです。







一直線上の運動の運動方程式は ma=F ですから、a=F/m となります。したがって、F/m を積分することによって速度vが得られます。さらに、vを積分することによって変位xが得られます。

等加速度直線運動では加速度 F/m=a が一定ですから、時間tで積分すると
　　　　　　　　　v=∫adt=at+C1　…①
と速度vが求められます。積分定数C1は、t=0のときv=v0として、①式に代入すると、C1=v0 と決めることができます。したがって、v=at+v0 が得られます。

速度vがわかったので、vを時間tで積分すれば変位xが得られます。すなわち
　　x=∫vdt=∫(at+v0)dt=at^2/2+v0t+C2　…②
となります。t=0のときx=0であるとすると、C2=0 となるので、x=at^2/2+v0t が得られます。


高校物理では、等加速度直線運動の変位xは、時間tと物体の速度vの関係を示したv-t図の面積から求められることを学びます。ですが、高校数学で学んだように、面積は積分を用いて求めることができるので、この変位はvをtで積分することで求めることができます。










積分法は微分法の逆なので、一般に、量Yが量Xをtで微分して得られるときは、Yをtで積分すればXが得られます。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判

微積分と速度・加速度

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、微積分と速度・加速度についてです。







高校数学で微分・積分について学びます。実はこの微積分は、高校物理で学ぶ様々な物体の運動を表す式と深い関係があります。そこで、今回は例として、等加速度直線運動と単振動の式について説明します。


まず、等加速度直線運動の変位xは
　　　　　　　　x=v0t+at^2/2
と表されます。このとき、速度vは、変位xを時間tで微分して
　　　　　　　　v=dx/dt=v0+at
と求められます。

また、加速度aは、vをtで微分することにより
　　　　　　　　a=dv/dt=a
であることが確かめられます。


次に、単振動の変位xは
　　　　　　　　x=Asinωt
で表されます。このとき、速度vは上と同様にして
　　　　　　　　v=dx/dt=Aωcosωt
と求められます。

また、加速度aも上と同様にして
　　　　　　　　a=dv/dt=-Aω^2sinωt
と求められます。










一般に、変位xが時間tの関数として表されるとき、速さvは、変位xを時間tで微分することによって求めることができます。同様に、加速度aは、速さvを時間tで微分することによって求めることができます。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判

三角関数と複素数

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、三角関数と複素数についてです。

2つの複素数 cosα+isinα, cosβ+isinβ を考えます。これらの積を計算すると

  (cosα+isinα)(cosβ+isinβ)
=cosαcosβ+icosαsinβ+isinαcosβ+i^2sinαsinβ
=(cosαcosβ-sinαsinβ)+i(sinαcosβ+cosαsinβ)

となり、不思議なことに余弦と正弦の加法定理の式が現れます。したがって、次の等式が成り立つのです。

(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=cos(α+β)+isin(α+β)

この等式を利用すると、次の等式が成り立ちます。

(cosθ+isinθ)^2=cos2θ+isin2θ
(cosθ+isinθ)^3=cos3θ+isin3θ

一般化すると、(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ, n∊Z となり、これをド・モアブルの定理といいます。

また、次の等式 e^iθ=cosθ+isinθ はオイラーの公式といい、この公式を利用すると、上記の定理が簡単に示されます。

ただし、オイラーの公式は e^x, sinx, cosx の x=0 におけるテイラー展開から導かれます。









ド・モアブルの定理は、数学的帰納法により示すこともできます。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判

都立入試過去問を解くことのすすめ

綾瀬個別指導学院（講師編）です。



都立入試まであと4ヶ月とせまってきました。皆さんは今まで模試などで対策をしてきたと思いますが、今後は都立入試の過去問を解いてみてください。過去問が解けるようになれば、より自信にもつながると思います。



数学や理科、社会などはまだ習っていない範囲の出題もあると思いますが、解ける問題も多いと思います。

例えば、数学の大問1の問題はすべて解けるはずです。例年、3年生の内容は計算問題のみで、主に1,2年生までの内容で構成されています。

英語はまだ習っていない文法もあると思いますが、大部分の文法は学んでいます。あとは単語や熟語をしっかり覚えていれば、長文読解にも取り組めると思います。まずは、比較的易しい大問2の問題から挑戦してみましょう。








最後に、都立入試の国語はあまり学習内容は関係ないので、ぜひすべて解いてみてください。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判

1の3乗根の不思議

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、1の3乗根についてです。







1の3乗根は、x^3=1 を満たすxの値です。1の3乗根のうち、虚数であるものの1つをωとするとき、ω^2も1の3乗根になります。このことは、次のようにして確かめられます。

ω^3=1 なので　(ω^2)^3=(ω^3)^2=1^2=1

また、x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) ですから、ωは x^2+x+1=0 の解で、ω^2+ω+1=0 が成り立ちます。


ω^3=1, ω^2+ω+1=0 を利用して、次の値を求めてみましょう。

   ω^16+ω^8+2
=(ω^3)^5･ω+(ω^3)^2･ω^2+2
=1^5･ω+1^2･ω^2+2
=ω^2+ω+1+1
=1

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判

調和平均

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、調和平均についてです。







高校数学では、相加平均と相乗平均について学びますが、調和平均については詳しく学びません。

ですが、この調和平均は身近で役立っています。具体例を挙げて、調和平均について説明します。


ある道のりを車で往復しました。行きは平均時速akm, 帰りは平均時速bkmで走りました。このとき往復にかかった時間と同じ時間をかけて、行きと帰りを一定の速さで走るとすると、時速何kmで走ればよいでしょうか。

求めたい時速は 2/((1/a)+(1/b)) で表され、この値をaとbの調和平均といいます。この調和平均は、電気回路や音楽など、様々な分野で重要な働きをします。


では、aとbの相乗平均と調和平均の大小関係はどうなるのでしょうか。正解は


(a+b)/2≧√ab≧2/((1/a)+(1/b))


となります。








不等式の証明は（左辺）ｰ（右辺）が基本です。なぜこうなるのか証明してみましょう。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判

素数は無限に存在する

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、素数についてです。







数多く存在する素数は、全部で何個あるのでしょうか。実は、素数は無限に存在します。「素数は無限に存在する」ことを証明するには背理法が有効です。

「素数は無限には存在しない」すなわち「素数は有限個である」と仮定します。素数が全部でn個あるとし、n個の素数を

　　　　　　　p1, p2, ………, pn　　…①

とします。ここで、n個の素数すべてを掛けて1を加えた

　　　　　　　p1p2………pn+1

という数を考えると、この数は①のどの素数で割っても余りが1となり、割り切れません。これは、「1より大きい整数は素数か素数の積として表される」ことに矛盾します。

よって、「素数は無限に存在する」のです。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判

硬貨投げの期待値

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は期待値についてです。









1枚の硬貨を10回投げるときは、表は10回の半分すなわち5回出るだろうと期待するのがふつうです。これが正しいかどうかを確かめてみましょう。

期待値の定義によると、次の値を計算することになります。

0×(1/2)^10+1×10C1(1/2)(1/2)^9+2×10C2(1/2)^2(1/2)^8+……
　　　　　　　　　　　　　　　　……+9×10C9(1/2)^9(1/2)+10×(1/2)^10

さて、計算の結果はどうなりますか。
















答えは「5」になります。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判

アルキメデスと数学・物理

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、古代ギリシアの数学者、物理学者であるアルキメデスについてです。







数学と物理は古くから密接な関係があり、その歴史は古代ギリシアに遡ります。そこで、数学や物理の教科書に載るアルキメデスの偉大な功績を紹介しようと思います。


まずは、「球と円柱について」です。球に外接する円柱を考えると、球の体積：円柱の体積=2:3、球の表面積：円柱の表面積=2:3が成り立ちます。球と円柱の体積比や表面積の比はいずれも一定の比になることを、今から2200年以上前にアルキメデスが発見したのです。

次は、「螺旋について」です。一般に、a>0のとき、極方程式 r=aθ（θ≧0）で表される曲線は、渦を巻く形になります。これを、アルキメデスの螺旋（渦巻線）といいます。

最後は、「浮力の原理」です。アルキメデスは流体中の物体にはたらく浮力の大きさについて、次のように考えました。

「流体中の物体は、それが排除している流体の重さに等しい大きさの浮力を受ける。」

これを、アルキメデスの原理といいます。この原理から、水の密度をρ、物体の体積をV、重力加速度をgとすると、水中の物体が受ける浮力の大きさFは次の式で表せます。
　　　　　　　　　　　F=ρVg
浮力の大きさは、物体が排除した流体の重さρVgと等しいことを表しています。







アルキメデスの功績はこれら以外にも数多くあります。皆さんもぜひ調べてみてください。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判

2次関数と身長・標準体重の関係

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、身長と標準体重の関係についてです。






一見、数学は関係ないように思われますが、実は次のような関係があります。

幼児の身長をxcm, 標準体重をykgとするとき、yの決め方のひとつに、yをxの2次関数とみる方法があります。男児の場合は、次の式です。

y=0.00183x^2-0.071x+4.43

女児の場合は、次の式です。

y=0.00234x^2-0.157x+7.71


この式を使って実際に計算してみると、例えば身長70cmの標準体重は、男児が8.4kg, 女児が8.2kgと求まります。ただし、これは小数第2位を四捨五入したものです。








皆さんもこの式を使って、身長80cmや90cmの体重を、電卓を使って計算してみましょう。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判

正方形と円の面積の大小

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、正方形と円の面積の大小についてです。






周の長さが等しい正方形と円では、どちらの方の面積が大きいでしょうか。このような問題を考えるとき、文字を使うことで解決します。

正方形の1辺の長さをacm、円の半径をrcmとします。ここで、rをaを用いた式で表します。

正方形と円の周の長さが等しいことから、2πr=4a             ∴  r=2a/π  (cm)
円の面積は　πr^2=π(2a/π)^2=4a^2/π　(㎠)
正方形の面積は a^2 ㎠で、π<4 です。


では、結論はどうなるでしょうか。どのように証明すればいいでしょうか。ポイントはπ<4です。

まず、両辺をπで割ります。すると、1<4/π となります。次に、両辺にa^2を掛けます。すると、a^2<4a^2/π となります。


結論が出ましたね。周の長さが等しい正方形と円では、円の面積の方が大きくなります。








文字を使うことで、様々な問題を式によって証明することができます。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判

都立入試対策（数学大問2）

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、都立入試数学の大問2についてです。







毎年、問2は証明が出題され、敬遠する生徒が多いですが、決してあきらめないでください。出題傾向は大まかにしかわかりませんが、図形や数の規則性に関する問題が出題されます。

最初の問1は決して難しくはありません。考えれば必ず解けるので、挑戦する気持ちが大切です。

問2の証明をできるようにするには、文字を使って表す力を養うことです。そのためには数学的な見方が必要になります。この力をつけるには、あらゆる数量関係を文字式で表す練習をしてみましょう。そうすると、問2の証明を少しずつ考えられるようになると思います。








文字を使って表す力を身につけて、数学的な見方や考え方ができるようにしましょう。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判

三角関数の公式 導出②

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、前回に続き三角関数の公式の導き方です。







三角関数の加法定理が本領を発揮するのが和と積の公式です。

① sinαcosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/2
② cosαsinβ={sin(α+β)-sin(α-β)}/2
③ cosαcosβ={cos(α+β)+cos(α-β)}/2
④ sinαsinβ=-{cos(α+β)-cos(α-β)}/2
⑤ sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
⑥ sinA-sinB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
⑦ cosA+cosB=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)
⑧ cosA-cosB=-2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)


これらの公式は覚えるものではありません。こんなものを覚えていたら頭がパンクしてしまいます。

ですから、加法定理を用いた導き方を覚えるようにしましょう。すべてを紹介するのは大変なので、①と⑤の導き方を紹介します。


まず、①を導くためにどの加法定理を使えば良いかを考えます。すると、sin(α+β)であることがわかります。しかし、これでは余計なcosαsinβが残ってしまいます。

そこで、sin(α-β)を加えてcosαsinβを相殺することでsinαcosβだけが残ります。

sin(α+β)+sin(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ-cosαsinβ=2sinαcosβ

あとは、両辺を2で割れば①が導かれます。


次に、⑤を導くには①を使います。

α+β=A, α-β=B とおくと、α=(A+B)/2, β=(A-B)/2 と表せるので、①に代入して

(sinA+sinB)/2=sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)

となります。あとは、両辺を2倍すれば⑤が導かれます。他も同様に導けます。






和と積の公式は、覚えるのではなく加法定理から導けるようにしましょう。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判

三角関数の公式 導出①

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、三角関数の公式の導き方です。





前回、三角関数の加法定理の覚え方を紹介しました。実はこの定理がとても重要で、あらゆる三角関数の公式はこの定理によって導かれます。

そこで、いくつかの公式の導き方を紹介します。まずは、正接の加法定理です。


tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)　　　　　　　　　　　　（三角関数の相互関係より）
             =(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)（三角関数の加法定理より）
             =((sinα/cosα)+(sinβ/cosβ))/(1-(sinα/cosα)(sinβ/cosβ))
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（分子・分母 cosαcosβ で割る）
             =(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)　　　　　　　　（三角関数の相互関係より）


tan(α-β)も同様に導けます。しかし、やや面倒くさいので覚えておいたほうが良いでしょう。


簡単に導けるのは、2倍角の公式と半角の公式です。まず、2倍角の公式です。加法定理においてβ=αとすると、次の公式が導かれます。

① sin2α=2sinαcosα　　
② cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2=1-2(sinα)^2=2(cosα)^2-1
　　　　　　　　　　　　　　　　　（三角関数の相互関係より）
③ tan2α=2tanα/1-(tanα)^2


次に、半角の公式です。

① (sin(α/2))^2=(1-cosα)/2
② (cos(α/2))^2=(1+cosα)/2
③ (tan(α/2))^2=(1-cosα)/(1+cosα)

①、②は2倍角の公式 cos2α=1-2(sinα)^2, cos2α=2(cosα)^2-1 において、αをα/2におき換えることで導かれます。③は①÷②より導かれます。







次回は、加法定理の本領を発揮する和と積の公式の導出を紹介します。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判