冬休みの過ごし方

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今年も残すところあとわずかです。年末年始を楽しみにしている子供たちも多いと思います。そこで、気をつけたいのが体調管理です。

この時期は空気が乾燥するためインフルエンザなどに注意が必要です。年末年始を楽しく過ごすためにも、手洗い・うがいをしっかりして予防するようにしましょう。


受験生にとってはいよいよ入試が迫ってきました。体調管理に気をつけて、最後の追い込みを頑張ってください。











皆様、良いお年をお迎えください。

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必要条件と十分条件

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、必要条件と十分条件についてです。









命題p⇒qが真であるとき、qはpであるための必要条件、pはqであるための十分条件といいます。しかし、生徒にとってこれがややこしく感じるようで、必要条件なのか十分条件なのかわからなくなってしまうようです。

そこで、少しでもわかりやすくなるように次のような命題を例に挙げてみましょう。

p:「ビールを飲む」q:「20歳以上」とすると、p⇒qは真となります。「ビールを飲む」ならば「20歳以上」でなければいけません。よって、この命題は正しいです。


では、「20歳以上」であることは「ビールを飲む」ためには必要条件ですよね。逆に「ビールを飲む」ことは「20歳以上」であるための必要条件ではありません。20歳以上であるためにはビールを飲むことが必要というのはおかしい話です。別に飲めなくても20歳以上であるために関係しません。よって十分条件です。











この命題の逆は成立しません。すなわち、q⇒pは偽となります。このことからも上の結論が得られると思います。

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放射性元素の崩壊と微積分

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、放射性元素の崩壊と微積分についてです。









kを0でない定数とするとき、指数関数f(x)=e^kxを微分すると
　　　　　　　　　f'(x)=ke^kx=kf(x)
となります。

この関係f'(x)=kf(x)は、放射性元素の崩壊現象など、自然現象にもよく現れます。yをxの関数、kを0でない定数とするとき、次の微分方程式を解いてみましょう。
　　　　　　　　　　　　y'=ky

(i) y=0は明らかに解となります。
(ii) y≠0のとき、方程式を変形すると
　　　　　　　　(1/y)dy/dx=k
両辺をxで積分すると
　　　　　　∫(1/y)dydx/dx=∫kdx
　　　　　　　　　　　∫dy/y=∫kdx
　　　　　　　　　　　log|y|=kx+C　（Cは任意定数）
                                      |y|=(e^C)e^kx
                                         y=±(e^C)e^kx

ここで、±e^C=AとおくとAは0以外の任意の値をとります。(i)で求めた解y=0は、y=Ae^kxにおいて、A=0とおくと得られます。したがって、求める解はy=Ae^kx, Aは任意定数となります。


ところで、同じ原子核では、同一時間内に崩壊する原子核の数は、そのとき存在する原子核の数に比例します。

よって崩壊の式は、t=0における放射性原子核の数をN0, 時刻tにおいて崩壊しないで存在する数をN, 半減期をTとすると
　　　　　　　　　　N=N0(1/2)^t/T
となります。












y=Ae^kxと崩壊の式を比較してみると、微分方程式y'=kyと関係が深いことが分かります。

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交流回路と微積分

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、交流回路と微積分についてです。









前回、誘導起電力の式
　　　　　　　　　　V=V0sinωt　…①
を微分によって求めることができました。今回は、交流回路におけるコイルに流れる電流の式とコンデンサーに流れる電流の式を、微積分を用いてそれぞれ求められることを説明します。


コイルに流れる電流が変化するとき、その変化を打ち消す向きにコイルに誘導起電力が生じます。これを自己誘導といいます。そこで、コイルに生じる誘導起電力を考えます。

I[A]の電流が流れているソレノイドコイル（単位長さ当たりの巻数n, 長さℓ）内部の磁束密度はB=μ0nI（μ0は真空の透磁率）となります。

コイルを貫く磁束はΦ=BS=μ0nIS, コイルの巻数N=nℓですから、時間Δt[s]の間に電流がΔI[A]変化するとき、ファラデーの電磁誘導の法則により
　　　　　　　V=-NΔΦ/Δt=-nℓμ0nSΔI/Δt
ここでμ0n^2ℓS=Lとおくと V=-LΔI/Δt となります。

この式の比例定数Lはコイルの自己誘導の大きさを表し、これを自己インダクタンスといいます。この式は、誘導起電力Vが電流Iの時間tに対する平均変化率であることを表しています。したがって、瞬間の変化率は
　　　　　　　　　　VL=-LdI/dt　…②
となります。


①、②式より、コイルに流れる電流の式を求めることができます。まず、回路に電流が流れるということは、1周して戻ってくると電位が元通りになる（キルヒホッフの法則）ということだから
                          V+VL=0
                                V=-VL=LdI/dt
                ∴　dI/dt=V/L=V0sinωt/L　…③

③式の両辺を時間tで積分すると
                            I=∫V0sinωtdt/L
                              =(V0/L)∫sinωtdt
                              =V0(-cosωt)/ωL
ここで、-cosωt=sin(ωt -π/2)より
                 I=I0sin(ωt -π/2)　（ただし、V0/ωL=I0）


次に、平行板コンデンサーの極板の向かい合う面上にたまった電荷によって、極板間に一様な電場が生じます。

極板の電気量をQ[C], 面積をS[㎡]とすると、極板間の電場の強さE[V/m]は
                               E=4πkQ/S　…④
となります。

極板間の電位差をV[V], 間隔をd[m]とすると、④式から
                               V=Ed=4πkdQ/S
となります。

ゆえに、Q=SV/4πkdとなるから、QはVに比例します。この比例定数をCとおくと
                       Q=CV　…⑤　（ただし、C=S/4πkd）
Cをコンデンサーの電気容量といいます。

また、電流Iは電気量Qを時間tで微分することによって得られるから
                             I=dQ/dt　…⑥


①、⑤、⑥式より、コンデンサーに流れる電流の式を求めることができます。
I=dQ/dt=CdV/dt=CV0dsinωt/dt=ωCV0cosωt
ここで、cosωt=sin(ωt+ π/2)より
　　　　　　I=I0sin(ωt+ π/2)　（ただし、ωCV0=I0）


抵抗値Rの抵抗、自己インダクタンスLのコイル、電気容量Cのコンデンサーを直列に接続し、これに交流電源をつないだとき、流れる電流をI=I0sinωtとすると、抵抗に加わる電圧VRは、オームの法則より
　　　　　　　　　　VR=RI0sinωt
コイルに加わる電圧VLは、
　　　　　　　　　　VL=ωLI0sin(ωt+ π/2)
コンデンサーに加わる電圧VCは
　　　　　　　　　　VC=(I0/ωC)sin(ωt- π/2)
と表されます。










回路に加わる電圧 V=VR+VL+VC を計算すると、交流回路のインピーダンスを求めることができます。　

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12月模試 受験のすすめ

綾瀬個別指導学院（講師編）です。


今年も残り1ヶ月を切りました。年明けからは本格的に受験シーズン到来です。受験生の皆さんは今まさに追い込みをかけていると思います。

そこで、ぜひ12月の模試を受けてください。出題範囲は各教科ともほとんど本番と変わりません。ですから、本番に近い形で受験することができます。


年内最後の模試で今の自分の実力を確認し、年明けに向けて仕上げていきましょう。











12月の模試は必ず受けるようにしましょう。

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