三角関数の公式 導出①

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、三角関数の公式の導き方です。





前回、三角関数の加法定理の覚え方を紹介しました。実はこの定理がとても重要で、あらゆる三角関数の公式はこの定理によって導かれます。

そこで、いくつかの公式の導き方を紹介します。まずは、正接の加法定理です。


tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)　　　　　　　　　　　　（三角関数の相互関係より）
             =(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)（三角関数の加法定理より）
             =((sinα/cosα)+(sinβ/cosβ))/(1-(sinα/cosα)(sinβ/cosβ))
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（分子・分母 cosαcosβ で割る）
             =(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)　　　　　　　　（三角関数の相互関係より）


tan(α-β)も同様に導けます。しかし、やや面倒くさいので覚えておいたほうが良いでしょう。


簡単に導けるのは、2倍角の公式と半角の公式です。まず、2倍角の公式です。加法定理においてβ=αとすると、次の公式が導かれます。

① sin2α=2sinαcosα　　
② cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2=1-2(sinα)^2=2(cosα)^2-1
　　　　　　　　　　　　　　　　　（三角関数の相互関係より）
③ tan2α=2tanα/1-(tanα)^2


次に、半角の公式です。

① (sin(α/2))^2=(1-cosα)/2
② (cos(α/2))^2=(1+cosα)/2
③ (tan(α/2))^2=(1-cosα)/(1+cosα)

①、②は2倍角の公式 cos2α=1-2(sinα)^2, cos2α=2(cosα)^2-1 において、αをα/2におき換えることで導かれます。③は①÷②より導かれます。







次回は、加法定理の本領を発揮する和と積の公式の導出を紹介します。

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