三角関数と複素数

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、三角関数と複素数についてです。

2つの複素数 cosα+isinα, cosβ+isinβ を考えます。これらの積を計算すると

  (cosα+isinα)(cosβ+isinβ)
=cosαcosβ+icosαsinβ+isinαcosβ+i^2sinαsinβ
=(cosαcosβ-sinαsinβ)+i(sinαcosβ+cosαsinβ)

となり、不思議なことに余弦と正弦の加法定理の式が現れます。したがって、次の等式が成り立つのです。

(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=cos(α+β)+isin(α+β)

この等式を利用すると、次の等式が成り立ちます。

(cosθ+isinθ)^2=cos2θ+isin2θ
(cosθ+isinθ)^3=cos3θ+isin3θ

一般化すると、(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ, n∊Z となり、これをド・モアブルの定理といいます。

また、次の等式 e^iθ=cosθ+isinθ はオイラーの公式といい、この公式を利用すると、上記の定理が簡単に示されます。

ただし、オイラーの公式は e^x, sinx, cosx の x=0 におけるテイラー展開から導かれます。









ド・モアブルの定理は、数学的帰納法により示すこともできます。

ＨＰはこちらから→　クリック

資料請求・お問い合わせはこちら→クリック

綾瀬　塾
綾瀬２教室
都立受験に強い
万全の定期テスト対策　　入試対策　
綾瀬駅西口徒歩１分
地域密着　綾瀬個別指導学院
綾瀬　塾　評判