調和平均

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、調和平均についてです。







高校数学では、相加平均と相乗平均について学びますが、調和平均については詳しく学びません。

ですが、この調和平均は身近で役立っています。具体例を挙げて、調和平均について説明します。


ある道のりを車で往復しました。行きは平均時速akm, 帰りは平均時速bkmで走りました。このとき往復にかかった時間と同じ時間をかけて、行きと帰りを一定の速さで走るとすると、時速何kmで走ればよいでしょうか。

求めたい時速は 2/((1/a)+(1/b)) で表され、この値をaとbの調和平均といいます。この調和平均は、電気回路や音楽など、様々な分野で重要な働きをします。


では、aとbの相乗平均と調和平均の大小関係はどうなるのでしょうか。正解は


(a+b)/2≧√ab≧2/((1/a)+(1/b))


となります。








不等式の証明は（左辺）ｰ（右辺）が基本です。なぜこうなるのか証明してみましょう。

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