足立区　綾瀬　塾　ブログ　綾瀬進学指導学院　　: 2次関数の最大・最小（定義域に文字を含む場合）

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は前回に続いて2次関数の最大・最小についてです。

特に多くの生徒が苦手にするのは、文字を含んでいる2次関数の最大・最小です。今回は、定義域に文字を含む場合について、例を挙げて説明したいと思います。

例.　aを定数とするとき、関数 f(x)=x^2-4x+6 (a-1≦x≦a+1) について、最大値と最小値を求めよ。

文字を含んでいる2次関数の最大・最小の問題を解くうえで基本となることは、前回の通り場合分けをすることです。

そして、2次関数の最大・最小を考えるにはグラフを書くことが基本ですから、イメージとして簡単に書いておきましょう。

では、どのように場合分けするのかを説明していきます。

まずは最大値を考えます。基本的な考え方は前回と同様です。最大値を求めるうえで考えることは、2次関数のグラフ（放物線）の対称性です。

軸が定義域の真ん中に位置するとき、定義域の両端で最大となります。また、軸からの距離が遠いほど最大になります。これらを踏まえて場合分けします。

まずは、平方完成です。

f(x)=x^2-4x+6
=(x-2)^2+2

よって、軸は x=2、頂点は（2, 2）となります。

次に、軸が定義域の真ん中に位置するときのaの値を求めます。
(a-1+a+1)/2=2　より、a=2となります。

これより、a=2のとき定義域の両端であるx=1, 3で最大となり、a>2のとき軸からの距離が遠いx=a+1で最大、a<2のとき同様に考えてx=a-1で最大となります。

場合分けすると、

（Ⅰ）a>2のとき
x=a+1で最大なので、最大値は　f(a+1)=(a+1-2)^2+2=a^2-2a+3

（Ⅱ）a=2のとき
x=1, 3で最大なので、最大値は　f(1)=f(3)=3

（Ⅲ）a<2のとき
x=a-1で最大なので、最大値は　f(a-1)=(a-1-2)^2+2=a^2-6a+11

となります。

次に最小値について考えます。基本的な考え方は前回と同様です。最小値を求めるうえで考えることは、軸が定義域内かそうでないかです。

軸が定義域内であれば、軸で最小となります。軸が定義域外のときは、軸から近い定義域の端点で最小となります。これらを踏まえて場合分けします。

場合分けをする前に、まず軸が定義域内であるときのaの範囲を求めます。
a-1≦2≦a+1　より　1≦a≦3　となります。

これより、1≦a≦3のとき軸が定義域内なので、x=2で最小となり、a>3のとき軸から近いx=a-1で最小、a<1のとき同様に考えてx=a+1で最小となります。

場合分けすると、

（i）a>3のとき

x=a-1で最小なので、最小値は　f(a-1)=a^2-6a+11

（ii）1≦a≦3のとき

x=2で最小なので、最小値は　f(2)=2

（iii）a<1のとき

x=a+1で最小なので、最小値は　f(a+1)=a^2-2a+3

となります。

定義域に文字を含む場合の最大・最小は、グラフを正確に書けるので考え方がイメージしやすいと思います。
前回と同様に、最大値と最小値で求めるときの考え方が違うので、そこをきちんと整理して理解するようにしましょう。