2018年6月22日金曜日

2次関数の最大・最小(定義域に文字を含む場合)

綾瀬個別指導学院(講師編)です。

今回は前回に続いて2次関数の最大・最小についてです。





特に多くの生徒が苦手にするのは、文字を含んでいる2次関数の最大・最小です。今回は、定義域に文字を含む場合について、例を挙げて説明したいと思います。


例. aを定数とするとき、関数 f(x)=x^2-4x+6 (a-1≦x≦a+1) について、最大値と最小値を求めよ。


文字を含んでいる2次関数の最大・最小の問題を解くうえで基本となることは、前回の通り場合分けをすることです。

そして、2次関数の最大・最小を考えるにはグラフを書くことが基本ですから、イメージとして簡単に書いておきましょう。


では、どのように場合分けするのかを説明していきます。


まずは最大値を考えます。基本的な考え方は前回と同様です。最大値を求めるうえで考えることは、2次関数のグラフ(放物線)の対称性です。

軸が定義域の真ん中に位置するとき、定義域の両端で最大となります。また、軸からの距離が遠いほど最大になります。これらを踏まえて場合分けします。


まずは、平方完成です。

f(x)=x^2-4x+6
     =(x-2)^2+2

よって、軸は x=2頂点は(2, 2)となります。

次に、軸が定義域の真ん中に位置するときのaの値を求めます。
(a-1+a+1)/2=2 より、a=2となります。

これより、a=2のとき定義域の両端であるx=1, 3で最大となり、a>2のとき軸からの距離が遠いx=a+1で最大、a<2のとき同様に考えてx=a-1で最大となります。

場合分けすると、

(Ⅰ)a>2のとき
x=a+1で最大なので、最大値は f(a+1)=(a+1-2)^2+2=a^2-2a+3

(Ⅱ)a=2のとき
x=1, 3で最大なので、最大値は f(1)=f(3)=3

(Ⅲ)a<2のとき
x=a-1で最大なので、最大値は f(a-1)=(a-1-2)^2+2=a^2-6a+11

となります。


次に最小値について考えます。基本的な考え方は前回と同様です。最小値を求めるうえで考えることは、軸が定義域内かそうでないかです。

軸が定義域内であれば、軸で最小となります。軸が定義域外のときは、軸から近い定義域の端点で最小となります。これらを踏まえて場合分けします。


場合分けをする前に、まず軸が定義域内であるときのaの範囲を求めます。
a-1≦2≦a+1 より 1≦a≦3 となります。

これより、1≦a≦3のとき軸が定義域内なので、x=2で最小となり、a>3のとき軸から近いx=a-1で最小、a<1のとき同様に考えてx=a+1で最小となります。

場合分けすると、

(i)a>3のとき
x=a-1で最小なので、最小値は f(a-1)=a^2-6a+11

(ii)1≦a≦3のとき
x=2で最小なので、最小値は f(2)=2

(iii)a<1のとき
x=a+1で最小なので、最小値は f(a+1)=a^2-2a+3

となります。







定義域に文字を含む場合の最大・最小は、グラフを正確に書けるので考え方がイメージしやすいと思います。
前回と同様に、最大値と最小値で求めるときの考え方が違うので、そこをきちんと整理して理解するようにしましょう。







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