平均の速さと瞬間の速さ

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、平均の速さと瞬間の速さについてです。皆さん一度は算数や理科の授業で聞いたことがありますよね。

平均の速さとは、移動距離をかかった時間で割ったものです。これに対して瞬間の速さとは、極めて短く切り取った平均の速さです。

ここで疑問が生じませんか？平均の速さは（移動距離）÷（かかった時間）と式で表すことができるのに対し、瞬間の速さは平均の速さを極めて短く切り取ったものとしか説明されていません。イメージがざっくりしていますよね。

中学校まではこのように説明されます。瞬間の速さは平均の速さとは違い、求めなさいと問われることもありません。よく例として、スピードメーターなどが挙げられる程度です。では、瞬間の速さは計算できないのでしょうか？

ここからは高校の話になります。実は、瞬間の速さは求めることができるのです。では、どのように求めるのでしょうか。ここで登場するのが微分です。なぜ微分なのか。高校数学に詳しい人なら、微分は接線を引く作業というようなイメージを持っていると思います。しかしながら、微分はそれだけではありません。

位置を表す式を時間微分すると、速度を表す式になるのです。この式により極めて短く切り取った時間、つまりある時間における速さ（瞬間の速さ）を求めることができるのです。

なぜ微分によって瞬間の速さを求めることができるのか。ポイントは導関数の定義です。微分公式は導関数の定義から導かれます。そもそも瞬間の速さとは、平均の速さを極めて短く切り取ったものなのです。平均の速さの式を用いてこの事を表すと、導関数の定義そのものになるのです。

興味のある人は実際に確かめてみてください。高校数学の奥深さを感じることができると思います。

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