今回は、連星の質量とケプラーの法則についてです。
物理や地学でよく出題されます。連星の質量はどのように求めるのでしょうか。実は、ケプラーの第3法則から求まります。
ケプラーの第3法則は、万有引力の法則から、惑星と太陽との引力と惑星の円運動による向心力とが等しいとして導くことができます。
しかし、これは惑星の質量が太陽の質量に比べて無視できるくらい小さい場合であり、連星のように片方の天体の質量が無視できないくらい大きい場合には次のようになります。
質量mAの天体Aと質量mBの天体Bが、共通重心Oのまわりを、半径がそれぞれa1, a2の円運動をする場合、
GmAmB/a^2=mAa14π^2/p^2 GmAmB/a^2=mBa24π^2/p^2
（a:平均距離、p:公転周期、G:万有引力定数）
となります。一方、a=a1+a2であるので、a1, a2を消去するとa^3/p^2=G(mA+mB)/4π^2
の式が得られ、さらに mA:mB=a2:a1 よりそれぞれの質量が求まります。
ケプラーの第3法則 a^3/p^2=k は、太陽と惑星のように、一方の質量が無視できる場合に成立する式であることを覚えておきましょう。
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