2021年9月4日土曜日

数学と物理の境界線 #8「運動量保存則」

綾瀬個別指導学院 糸井です。

今回は、運動方程式から運動量保存則を導出します。




まず、運動方程式の両辺をt積分すると
         ∫madt=∫Fdt
ただし、積分区間はtからTであり、置換積分した後の左辺はt=vT=Vとそれぞれ表すことにします。


この式の右辺は力積Iであり、左辺は置換積分を用いると
左辺=∫m(dv/dt)dt=∫mdv=mV-mv
∴ mV-mv=I …①

よって、運動量の変化は受けた力積I等しいことがわかります。


次に、n個の物体からなる物体系について考えます。


各物体について成立するので、mkVk-mkvk=Ik
これをすべてのkについて足し合わせると
(k=1~n)mkVk-∑(k=1~n)mkvk=∑(k=1~n)Ik

ここで、作用反作用の法則より、物体系が外力受けない場合上式の右辺は0になります。
∴ ∑(k=1~n)mkvkconst.


したがって、外力受けない物体系の運動量保存されます。








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