綾瀬個別指導学院 糸井です。
今回は、運動方程式から運動量保存則を導出します。
まず、運動方程式の両辺をtで積分すると
∫madt=∫Fdt
ただし、積分区間はtからTであり、置換積分した後の左辺はt=v、T=Vとそれぞれ表すことにします。
この式の右辺は力積Iであり、左辺は置換積分を用いると
左辺=∫m(dv/dt)dt=∫mdv=mV-mv
∴ mV-mv=I …①
よって、運動量の変化は受けた力積Iに等しいことがわかります。
次に、n個の物体からなる物体系について考えます。
各物体について①が成立するので、mkVk-mkvk=Ik
これをすべてのkについて足し合わせると
∑(k=1~n)mkVk-∑(k=1~n)mkvk=∑(k=1~n)Ik
ここで、作用反作用の法則より、物体系が外力を受けない場合上式の右辺は0になります。
∴ ∑(k=1~n)mkvk=const.
したがって、外力を受けない物体系の運動量は保存されます。
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