数学と物理の境界線 #7「エネルギー保存則」

 綾瀬個別指導学院　糸井です。

今回は、運動方程式からエネルギー保存則を導出します。

まず、運動方程式の両辺にvをかけてtで積分すると

　　　　　　　　∫mvadt=∫Fvdt

ただし、積分区間はtからTであり、置換積分した後の左辺はt=v、T=V、右辺はt=u、T=Uとそれぞれ表すことにします。

左辺=∫mv(dv/dt)dt=∫mvdv=mV²/2－mv²/2

右辺=∫F(dx/dt)dt=∫Fdx=W

∴　mV²/2－mv²/2=W

よって、運動エネルギーの変化は物体がされた仕事Wに等しいことがわかります。

次に、物体に加わる力が保存力のみであるとき、保存力の定義より

W=∫Fdx=∫(－dU/dx)dx=－∫dU=u－U

∴　mV²/2+U=mv²/2+u

したがって、物体に加わる力が保存力のみであるとき、物体の力学的エネルギーは保存されます。

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