三角関数の公式 導出②

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、前回に続き三角関数の公式の導き方です。







三角関数の加法定理が本領を発揮するのが和と積の公式です。

① sinαcosβ={sin(α+β)+sin(α-β)}/2
② cosαsinβ={sin(α+β)-sin(α-β)}/2
③ cosαcosβ={cos(α+β)+cos(α-β)}/2
④ sinαsinβ=-{cos(α+β)-cos(α-β)}/2
⑤ sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
⑥ sinA-sinB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
⑦ cosA+cosB=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)
⑧ cosA-cosB=-2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)


これらの公式は覚えるものではありません。こんなものを覚えていたら頭がパンクしてしまいます。

ですから、加法定理を用いた導き方を覚えるようにしましょう。すべてを紹介するのは大変なので、①と⑤の導き方を紹介します。


まず、①を導くためにどの加法定理を使えば良いかを考えます。すると、sin(α+β)であることがわかります。しかし、これでは余計なcosαsinβが残ってしまいます。

そこで、sin(α-β)を加えてcosαsinβを相殺することでsinαcosβだけが残ります。

sin(α+β)+sin(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ-cosαsinβ=2sinαcosβ

あとは、両辺を2で割れば①が導かれます。


次に、⑤を導くには①を使います。

α+β=A, α-β=B とおくと、α=(A+B)/2, β=(A-B)/2 と表せるので、①に代入して

(sinA+sinB)/2=sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)

となります。あとは、両辺を2倍すれば⑤が導かれます。他も同様に導けます。






和と積の公式は、覚えるのではなく加法定理から導けるようにしましょう。

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