2018年11月16日金曜日

運動方程式とエネルギー保存則

綾瀬個別指導学院(講師編)です。

今回は、運動方程式エネルギー保存則についてです。










エネルギー保存則は、運動方程式 ma=F の両辺に速度vを掛けて時間tで積分することで導くことができます。
           mav=Fv
       d(mv^2/2)/dt=Fdx/dt …①

次に、①式の両辺をtで積分すると
             ∫d(mv^2/2)dt/dt=∫Fdxdt/dt …②

ここで、②式の右辺は ∫Fdx であり、物体がされた仕事W一致します。左辺は初速度v0, 変化した速度vとすると、②式は
     (mv^2/2)-(mv0^2/2)=W …③
となり、物体の運動エネルギーの変化は、物体がされた仕事等しいことがわかります。

また、保存力の定義 F=-dU/dx より
       W=∫Fdx=-∫dUdx/dx=U0-U
となります。


この式と③式から次の式が得られます。
      (mv0^2/2)+U0=(mv^2/2)+U
ただし、U0保存力受ける前位置エネルギーU保存力受けた後位置エネルギーです。










この式が表すことは、物体に加わる力が保存力のみである場合、物体の力学的エネルギーは保存されるということがわかります。











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2018年11月14日水曜日

運動方程式と運動量保存則

綾瀬個別指導学院(講師編)です。

今回は、運動方程式運動量保存則についてです。









運動量保存則は、運動方程式 ma=F の両辺を時間tで積分することで導くことができます。
          m∫adt=∫Fdt …①

ここで、力積Iは、力F時間tの関係を示したF-t図面積から求められるので、①式は
         m∫dvdt/dt=I …②
と表すことができます。

さらに、力積受ける前速度v, 力積受けた後速度v'とすると、②式は
           mv'-mv=I …③
となり、運動量の変化受けた力積等しいことがわかります。


最後に、物体A, B衝突する前後で、A, Bの運動量の和変わらないことを次のように示します。

速度v1で運動する質量m1物体Aが、速度v2で運動する質量m2物体Bに追いついて衝突し、速度がそれぞれv1', v2'になったとします。

このとき、BAから受ける力Fとすると、作用・反作用の法則によって、ABから受ける力-Fとなります。③式から、このときの運動量の変化と力積の関係は、
       Aについて m1v1'-m1v1=-I
       Bについて m2v2'-m2v2=I
となります。

この2式を辺々加えると、次の式が得られます。
        m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'










この式が表すことは、全体の運動量は変化しない、すなわち運動量が保存されるということがわかります。










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2018年11月12日月曜日

運動方程式と力学的エネルギー保存則

綾瀬個別指導学院(講師編)です。

今回は、運動方程式力学的エネルギー保存則についてです。








力学的エネルギー保存則は、運動方程式から導くことができます。まず、次のような運動方程式を立てます。
          ma=-kx+mg
これは重力mg弾性力-kxが働いている物体の運動方程式です。

この運動方程式の両辺に速度vを掛けます。
         mav=-kxv+mgv …①

次に、両辺を微分形で表します。①式は
  d(mv^2/2)/dt=d(-kx^2/2 +mgx)/dt …②
微分形で表すことができます。

左辺は運動エネルギー、右辺は弾性力による位置エネルギー重力による位置エネルギーのそれぞれ時間微分の形になっています。なぜこうなるのか確かめてみましょう。


まず、②式の左辺は
d(mv^2/2)/dt=(m/2)dv^2/dt
         =(m/2)2vdv/dt=mav
となるので、①式の左辺と同じになります。

次に、②式の右辺は
d(-kx^2/2 +mgx)/dt=d(-kx^2/2)/dt +d(mgx)/dt
                                  =(-k/2)dx^2/dt +mgdx/dt
                                  =-kxv+mgv
となるので、①式の右辺と同じになります。


最後に、②式の右辺を左辺に移項すると
              d(mv^2/2 +kx^2/2 -mgx)/dt=0
という形になります。










この式が表すことは、運動エネルギーと位置エネルギーの和(力学的エネルギー)を、時間微分したら0になるということです。つまり、力学的エネルギーは常に一定になるので、力学的エネルギーは保存されるということがわかります。








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2018年11月8日木曜日

仕事と微積分

綾瀬個別指導学院(講師編)です。

今回は、仕事微積分についてです。








前回物理における仕事定義は、ベクトルの内積であることを説明しました。しかし、仕事には別の求め方があります。

がする仕事は、横軸に移動距離x, 縦軸に力FをとったF-x図における面積で表されます。したがって、x=aからx=bまで物体が移動するときに、がする仕事積分を用いて次のように求めることができます。

         W=∫(a~b)Fdx


では、具体的にいくつかを挙げていきます。

1つ目は、弾性力のする仕事です。ばねが物体にする仕事Wは、ばねが自然の長さの位置からa[m]伸びたとき、次のように求められます。
  W=∫(a~0)(-kx)dx=[-kx^2/2](a~0)=ka^2/2

ここで、-kx負の符号をつけたのは、力の向き負の向きであるからです。

2つ目は、コンデンサーを充電するときの仕事です。コンデンサーを充電するときの仕事Wは、次のように求められます。
  W=∫(0~Q)Vdq=∫(0~Q)(q/C)dq
   =(1/C)[q^2/2](0~Q)=Q^2/2C=CV^2/2


最後は、万有引力のする仕事です。地球の中心から距離aの点にある物体がもつ万有引力による仕事Wは、無限遠点を基準にとると、次のように求められます。
  W=∫(∞~a)(GMm/r^2)dr=GMm[-1/r](∞~a)
   =-GMm/a
(ただし、lim(r→∞)(-1/r)=0












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2018年11月7日水曜日

電磁誘導と微積分

綾瀬個別指導学院(講師編)です。

今回は、電磁誘導微積分についてです。




一様な磁場内でコイルを一定の速さで回転させたときに発生する誘導起電力は、微積分を用いて容易に求めることができます。


まず、1巻きのコイルを貫く磁束Φ時間Δtの間にΔΦだけ変化するときの誘導起電力V
       V=-ΔΦ/Δt (ファラデーの電磁誘導の法則)
です。この式は、誘導起電力V磁束Φ時間tに対する平均変化率であることを表しています。

したがって、瞬間の変化率
          V=-dΦ/dt
のように、Φをtで微分することによって得ることができます。


上図のコイルの辺の長さをl, 2rとすると、コイルの面積は2rlですから、コイルを貫く磁束
          Φ=B×2rlcosωt
となります。

したがって、誘導起電力
      V=-dΦ/dt=2Brlωsinωt=V0sinωt
と求められます。(ただし、V0=2Brlω







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2018年11月5日月曜日

フィボナッチ数列

綾瀬個別指導学院(講師編)です。

今回は、フィボナッチ数列についてです。


生まれたばかりの1対のウサギが、生後2ヶ月目から毎月、1対のウサギを産み、生まれた1対のウサギもまた生後2ヶ月目から毎月、1対のウサギを産むとします。

このときウサギの対の数「1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …」と増えます。この数列は、フィボナッチ数列と呼ばれていて、前2つの項の和が次の項になります。

この数列は自然界にもよく現れ、とても不思議な性質をもっています。この数列において、隣り合う2項の比を計算すると、次のようになります。

13/8=1.625,  21/13=1.615…,  34/21=1.619…,  55/34=1.617…

この比は黄金比と呼ばれる値 (1+√5)/2 に近づいていくことが知られています。











皆さんも、この数列の第20項までを求めて確かめてみましょう。








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2018年11月1日木曜日

ベクトルの内積と仕事

綾瀬個別指導学院(講師編)です。

今回は、ベクトルの内積仕事についてです。








私たちが物を運ぶとき、物が重いほど、または遠くへ運ぶほど、大きな仕事をしたと感じます。しかし、物理という学問では、仕事定義を次のように考えます。


物体にベクトルaで表されるが働いて、物体にベクトルbで表される平行移動が起こったとき、内積abをこののした仕事といいます。


さて、重い物を持ったまま平らな地面をどんなに歩いても、「物を持つがした仕事0だよ」なんて言われたら、困りますよね。実際に上の定義で計算してみましょう。


まず、内積定義は ab=|a||b|cosθ となります。そこで、物体を持ち上げるF[N], 平らな地面を歩く距離をx[m]とすると、なす角θ90°になります。上の定義で計算すると、
         Fxcos90°=F・x・0=0









残念ながら物理における仕事の定義では、「物を持つ力がした仕事は0」になります。









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