物理 力の図示

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、物理の力の図示についてです。





高校物理では、物体にはたらく力を図示するのが基本です。そのために必須となるのが、力の合成・分解です。

近年、高校数学でベクトルを学んでいない生徒も、物理で力の合成・分解を学び、苦手にしていることも多いので、図を使ってそれぞれ説明したいと思います。


※ はじめに、断り書きとしてベクトルの表記の部分は太字表記にしています。

まずは力の合成です。2力 F1, F2 が平行でないとき、この2力を合成した合力 F は、F1, F2 を隣りあう辺とする平行四辺形の対角線によって表されます。

平行四辺形の作り方は、F1, F2 の大きさ（長さ）は変えずに F1 は F2 の先に平行にずらし、F2 は F1 の先に平行にずらしてあげれば完成です。

2力が平行のとき合力はそれぞれ、2力が同じ向きなら2力の大きさ（長さ）の和になり、逆向きなら2力の大きさ（長さ）の差になります。


次は力の分解です。合成とは逆で、1つの力 F をそれと同じはたらきをする2力 Fx, Fy に分けることを力 F を分解するといい、 Fx, Fy を力 F の分力といいます。因みに、分解する2方向のとり方によって分解の方法は何通りもあります。

例えば、図のように力 F を x軸と y軸にそれぞれ平行な方向に分解し、分力をそれぞれ Fx, Fy とします。このとき、Fx, Fy を Fx, Fy の大きさだけでなく向きを示す量と考えて、それぞれ F の x成分、y成分といいます。

F の方向が x軸とθの角をなすとき、Fx, Fy は次のように表されます。ただし、F は力 F の大きさです。
Fx=Fcos θ,　Fy=Fsin θ






力の合成・分解は高校物理の基礎になります。習得して力の図示に慣れるようにしましょう。

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夏期チラシ 綾瀬個別指導学院

綾瀬個別指導学院　教室長の岡田です。

夏期チラシが完成いたしました。

当塾の特徴を皆様に分かりやすくお伝えするために、日々改良を心がけています。

夏休みに１学期の範囲や下学年の復習　を行うことは非常に重要です。

特に受験生は、一気に復習が出来る唯一　の機会です。

一緒に２学期に向けて・受験に向けて、後悔のない夏を過ごしましょう！

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指数と対数

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、指数と対数についてです。





高校数学で指数と対数を学びます。指数は比較的理解しやすいと思うのですが、対数になると急にわからなくなってしまう生徒も多いと思います。

そこで、指数と対数の必要性と計算方法を説明していきたいと思います。


まずは指数についてです。指数は物理や化学など理系分野で必須です。なぜなら、扱う数値が非常に大きかったり、小さかったりするからです。

例えば、物質量1molあたりの粒子の個数は 6.02×10^23個です。これをいちいち全て書いていたら大変ですよね。指数で表すことで簡単に書けて見やすくなります。

次に計算方法ですが、これは指数法則で計算することができます。

例.　4^5×2^-10÷8^-2=(2^2)^5×2^-10÷(2^3)^-2=2^10×2^-10÷2^-6
                                  =2^10+(-10)-(-6)=2^6=64


問題なのは対数ですね。対数の計算には、下記のような定義と性質を理解しておかなければいけません。

・対数の定義
　a>0, a≠1で M>0のとき
　　M=a^p ⇔ logaM=p　（これより、logaa^p=p）
・対数の性質
　a>0, a≠1, M>0, N>0で k を実数とする。
　1　logaMN=logaM+logaN
　2　logaM/N=logaM-logaN
　3　logaM^k=klogaM

対数の性質は決して難しいものではありません。定義からもわかる通り、対数は指数に直すことができます。よって、指数法則からこれらの性質は証明できます。

[1の証明]　logaM=p, logaN=q とすると　M=a^p, N=a^q
　　　　　よって　MN=a^p×a^q=a^p+q
　　　　　したがって　logaMN=p+q=logaM+logaN　　　　■

性質2,3も同様に証明できます。


では、例を挙げて計算方法を説明します。

例.　①　log102+log105=log10(2×5)=log1010=1
　　 ②　log224-log23=log224/3=log28=log22^3=3

対数の定義と性質をしっかり理解すれば、問題なく計算することができると思います。


最後に、対数はどのように利用されているのか説明します。

例えば、pHは常用対数が用いられます。* pH=-log[H+] と表され、水素イオン濃度 [H+]=10^-7のとき、pH=-log10^-7=7 と計算されます。

他にも、太陽系の惑星には、「惑星の公転周期の2乗は、惑星の太陽からの平均距離の3乗に比例する」という性質があります。このことは下の図で確かめられます。

この図の縦・横の目盛りは、実は「対数目盛り」になっているのです。ただし、1天文単位（au）は 1.50×10^8 km です。非常に大きな数を扱うとき、「対数」を用いることで見やすいグラフを作ることができます。






指数・対数は、様々な分野で役立っています。対数は指数と関連づけて理解すると、計算方法も理解しやすくなると思います。






* 数学では常用対数を log10x と表しますが、化学や工学では logx と表すのが一般的です。逆に数学では logx は自然対数の意味になり、化学や工学ではこれを lnxと表します。

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2次関数の最大・最小（定義域に文字を含む場合）

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は前回に続いて2次関数の最大・最小についてです。





特に多くの生徒が苦手にするのは、文字を含んでいる2次関数の最大・最小です。今回は、定義域に文字を含む場合について、例を挙げて説明したいと思います。


例.　aを定数とするとき、関数 f(x)=x^2-4x+6 (a-1≦x≦a+1) について、最大値と最小値を求めよ。


文字を含んでいる2次関数の最大・最小の問題を解くうえで基本となることは、前回の通り場合分けをすることです。

そして、2次関数の最大・最小を考えるにはグラフを書くことが基本ですから、イメージとして簡単に書いておきましょう。


では、どのように場合分けするのかを説明していきます。

まずは最大値を考えます。基本的な考え方は前回と同様です。最大値を求めるうえで考えることは、2次関数のグラフ（放物線）の対称性です。

軸が定義域の真ん中に位置するとき、定義域の両端で最大となります。また、軸からの距離が遠いほど最大になります。これらを踏まえて場合分けします。


まずは、平方完成です。

f(x)=x^2-4x+6
     =(x-2)^2+2

よって、軸は x=2、頂点は（2, 2）となります。

次に、軸が定義域の真ん中に位置するときのaの値を求めます。
(a-1+a+1)/2=2　より、a=2となります。

これより、a=2のとき定義域の両端であるx=1, 3で最大となり、a>2のとき軸からの距離が遠いx=a+1で最大、a<2のとき同様に考えてx=a-1で最大となります。

場合分けすると、

（Ⅰ）a>2のとき
x=a+1で最大なので、最大値は　f(a+1)=(a+1-2)^2+2=a^2-2a+3

（Ⅱ）a=2のとき
x=1, 3で最大なので、最大値は　f(1)=f(3)=3

（Ⅲ）a<2のとき
x=a-1で最大なので、最大値は　f(a-1)=(a-1-2)^2+2=a^2-6a+11

となります。


次に最小値について考えます。基本的な考え方は前回と同様です。最小値を求めるうえで考えることは、軸が定義域内かそうでないかです。

軸が定義域内であれば、軸で最小となります。軸が定義域外のときは、軸から近い定義域の端点で最小となります。これらを踏まえて場合分けします。


場合分けをする前に、まず軸が定義域内であるときのaの範囲を求めます。
a-1≦2≦a+1　より　1≦a≦3　となります。

これより、1≦a≦3のとき軸が定義域内なので、x=2で最小となり、a>3のとき軸から近いx=a-1で最小、a<1のとき同様に考えてx=a+1で最小となります。

場合分けすると、

（i）a>3のとき

x=a-1で最小なので、最小値は　f(a-1)=a^2-6a+11

（ii）1≦a≦3のとき

x=2で最小なので、最小値は　f(2)=2

（iii）a<1のとき

x=a+1で最小なので、最小値は　f(a+1)=a^2-2a+3

となります。

定義域に文字を含む場合の最大・最小は、グラフを正確に書けるので考え方がイメージしやすいと思います。
前回と同様に、最大値と最小値で求めるときの考え方が違うので、そこをきちんと整理して理解するようにしましょう。

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2次関数の最大・最小（軸に文字を含む場合）

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は2次関数の最大・最小についてです。





特に多くの生徒が苦手にするのは、文字を含んでいる2次関数の最大・最小です。まずは軸に文字を含む場合について、例を挙げて説明したいと思います。


例.  aを定数とするとき、関数 f(x)=x^2-2(a+1)x (3≦x≦7) について、最大値と最小値を求めよ。


文字を含んでいる2次関数の最大・最小の問題を解くうえで基本となることは、場合分けをすることです。

そして、2次関数の最大・最小を考えるにはグラフを書くことが基本です。しかし、軸に文字を含んでいるため正しいグラフが書けません。

ですが、この場合は正確なグラフでなくても良いんです。考えるときのイメージにしか使わないので、x軸もy軸も要りません。

上の図のようなグラフで構いません。



では、どのように場合分けするのかを説明していきます。

はじめに最大値について考えます。2次関数の問題で、まずしなければいけないのは平方完成です。

f(x)=x^2-2(a+1)x
     ={x-(a+1)}^2-(a+1)^2
     ={x-(a+1)}^2-a^2-2a-1

よって、軸は x=a+1,　頂点は　(a+1, -a^2-2a-1)　となります。


最大値を求めるうえで考えることは、2次関数のグラフ（放物線）の対称性です。放物線のグラフは、上の図のように軸に関して対称です。

つまり、軸が定義域の真ん中に位置するとき、定義域の両端で最大となります。また、軸からの距離が遠いほど最大になります。これらを踏まえて場合分けします。


場合分けをする前に、まず軸が定義域の真ん中に位置するときのaの値を求めます。
a+1=(3+7)/2　より　a=4　となります。

これより、a=4のとき定義域の両端であるx=3, 7で最大となり、a>4のとき軸からの距離が遠いx=3で最大、a<4のとき同様に考えてx=7で最大となります。

場合分けすると、

（Ⅰ）a>4のとき
x=3で最大なので、最大値は　f(3)=3^2-2(a+1)・3=3-6a

（Ⅱ）a=4のとき
x=3, 7で最大なので、最大値は　f(3)=f(7)=-21

（Ⅲ）a<4のとき
x=7で最大なので、最大値は　f(7)=7^2-2(a+1)・7=35-14a

となります。


次に最小値について考えます。最小値を求めるうえで考えることは、軸が定義域内かそうでないかです。上の図のように軸が定義域内であれば、軸で最小となります。

逆に軸が定義域外のときは、軸から近い定義域の端点で最小となります。これらを踏まえて場合分けします。


場合分けをする前に、まず軸が定義域内であるときのaの範囲を求めます。
3≦a+1≦7　より　2≦a≦6　となります。

これより、2≦a≦6のとき軸が定義域内なので、x=a+1で最小となり、a>6のとき軸から近いx=7で最小、a<2のとき同様に考えてx=3で最小となります。

場合分けすると、

（i）a>6のとき
x=7で最小なので、最小値は　f(7)=35-14a

（ii）2≦a≦6のとき
x=a+1で最小なので、最小値は　f(a+1)=-a^2-2a-1

（iii）a<2のとき
x=3で最小なので、最小値は　f(3)=3-6a

となります。






軸に文字を含む場合の最大・最小を考えるときのポイントは、上の図のようなグラフを考えて適切に場合分けすることです。
また、最大値と最小値で求めるときの考え方が違うので、そこをきちんと整理して理解するようにしましょう。

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7月模試 受験のすすめ

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、7月の模試を受けることの重要性についてです。




「受験はまだ先の話。」と思っている受験生も多いかもしれませんが、全然先の話ではありません。むしろ、夏から本格的に追い込んでいかなければいけません。

そのためにも、まず今の自分の実力を確かめるために7月の模試を受けることが大切なのです。


模試を受けることで、おそらく危機感を持つと思います。なぜなら、自分が思った以上にできないことに気づくからです。

ですが、このことに気づくことがとても重要なのです。ここから勉強の取り組み方を変えていけば良いのです。

7月の模試を受けることが、受験勉強の良いきっかけになります。






受験生の皆さん、7月の模試を受けることをおすすめします。

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2次関数の平方完成

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

2次関数の問題を解くうえで、平方完成は基本であり必須になります。しかし、平方完成を苦手にする生徒も多いので、今回は平方完成のテクニックを紹介します。





では、さっそく例を挙げます。

①　x^2+4x+6

平方完成するうえで注目するべき箇所は「x^2+4x」の部分です。展開した時に「x^2+4x」が出てくるように( )^2を作ります。

作り方のポイントは、xの係数を2で割ることです。
(x+(4/2))^2=(x+2)^2=x^2+4x+4
ここで、余分な「4」が出てくるので、これを消すために「-4」を加えて (x+2)^2-4 とします。

よって　　x^2+4x+6=(x+2)^2-4+6=(x+2)^2+2
これで、平方完成されました。


②　2x^2-5x+2

x^2の係数が1以外の場合はその数でくくるのですが、ここでも注目する箇所は
「2x^2-5x」の部分です。この部分だけくくります。

2x^2-5x+2=2(x^2-(5/2)x)+2

次に注目する箇所は「x^2-(5/2)x」の部分です。①の時と同様に行うのですが、注意する点は( )の前に2が掛けられていることです。慣れないうちは間違えないように{ }をつけましょう。

　2(x^2-(5/2)x)+2
=2{(x-(5/4))^2-(25/16)}+2
=2(x-(5/4))^2-(25/8)+2
=2(x-(5/4))^2-(9/8)
これで、平方完成されました。





x^2の係数でくくったり、分数になると少し複雑になりますが、的確にやれば間違いなくできます。皆さんもこのテクニックで練習してみてください。

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サイコロ2個 確率の解き方

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は確率です。




確率で、サイコロ2個の問題は定番中の定番です。そして簡単な解き方もあるので、これが出題されたら「ラッキー」と思えるようにしましょう。


では、例題です。
「2つのサイコロを同時に投げたとき、目の数の和が5になる確率を求めなさい。」


この問題を簡単に解く方法は、まず6×6マスの表を書くことです。後は、問題文の条件を表に○などでうめるだけです。

この問題の場合の数は、上の表のように4通りになります。表を使うことで、もれなく書き出すことができます。

2つのサイコロを同時に投げたとき、すべての場合の数は 6×6=36通りなので、求める答えは　4/36=1/9　となります。




サイコロ2個の問題は、すべてこの表を使って解けます。皆さんもこの解き方で解いてみてください。

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平行線と面積

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今回は平行線と面積についてです。




この単元は、ある三角形と面積の等しい三角形を見つけるという問題が基本ですが、この問題に苦戦する生徒は多いと思います。

理由は、形が違うのに面積が等しいことのしくみを理解できないから難しく感じるのだと思います。

そこで、具体的な例を挙げて説明したいと思います。


まず、面積の等しい三角形を見つけるには、次のことが前提にあります。

底辺と高さが等しい三角形 ⇒ 面積が等しい

三角形の面積を求めるのに必要な底辺と高さが等しければ、面積は等しくなります。

まとめますと、面積の等しい三角形を見つけるポイントは
① 共通な底辺を見つける
② 高さが等しい三角形を見つける


では、例題を考えます。

上の図で、四角形ABCDは平行四辺形で、EF//BDとします。このとき、△ABEと面積の等しい三角形をすべて見つけなさい。



考え方としては、まず△ABEの中でどの辺を共通な底辺と見るかです。同時に考えなければならないのは、高さが等しい三角形を見つけることです。

この場合、辺BEを共通な底辺と見ると、AD//BCなので△ABEと△DBEの高さが等しいことがわかります。よって、△ABE=△DBEとなります。

これで終わってはいけません。同様に考えて、今度は辺DBを共通な底辺と見ると、EF//BDなので△DBEと△DBFの高さが等しいことがわかります。よって、△DBE=△DBFとなります。

まだあります。今度は辺FDを共通な底辺と見ると、AB//DCなので△DBFと△DAFの高さが等しいことがわかります。よって、△DBF=△DAFとなります。

以上より、求める答えは△DBE、△DBF、△DAFとなります。





面積の等しい三角形を見つけるポイントを覚えて、このような問題を解けるようにしましょう。

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読解力をつける方法

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は読解力をつける方法です。




読解力はワークの問題を解けば身につくわけではありません。
読解力をつけるには本や新聞などを読むことです。

本と言ってもマンガではなく、小説などを読んで活字に親しむことがポイントです。


では、なぜこれで読解力がつくのかと言いますと、本などを読むことで「語彙力」がつきます。

知らない言葉が出てきた時に、内容を理解するために言葉の意味を調べますよね。語彙力がつくと、言葉の意味がわかり、文章の内容を理解することができます。

また、文章の要点を掴んでまとめる力や思考力もつきます。これらの力は読解力をつけるのに必要不可欠なものです。


読解力がつくと国語の読み取り問題だけでなく、算数の文章題を解く力もつきます。





勉強だけに限りません。新聞や本、インターネットなどから得た情報の意味を正しく理解する力がつくため、読解力は生きていくうえでとても重要な力なのです。

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自習のメリット

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は自習のメリットについてです。




自宅での勉強が全くはかどらないお子様には、塾で自習することをお勧めします。


自宅での勉強に集中できない理由は、マンガやゲーム、テレビなど様々な誘惑があるからです。

塾では様々な誘惑がありませんので、勉強するほかない環境を作ることができます。


そして一番のメリットは、わからない所をその場で先生に聞くことができるという点です。わからない所をそのままにせず、理解した状態で勉強を終わらせることができます。





綾瀬個別指導学院は、積極的に自習を呼びかけています。
月曜から土曜までいつでも自由に自習可能です。

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現在完了形 have been toとhave gone toの違い

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今回は、have been toとhave gone toの違いについてです。




現在完了形で「～に行ったことがある。」という文を書く時に、「行く」だから「go」の過去分詞「gone」を用いて「have gone to～」としてしまうと、意味が全く異なってしまいます。

その理由を「have been to～」と「have gone to～」の意味を比較して説明します。


「have been to～」は「～に行ったことがある。」という経験を表す現在完了形になります。つまり、上記の文を書くときは「gone」ではなく「been」を使わなければいけないのです。

「have gone to～」は「～に行ってしまって、今ここにはいない。」という完了を表す現在完了形になります。


元々「be」には「存在する」という意味があります。これが転じて「ある」になり、「be」の過去分詞「been」を用いて「have been to～」となります。




「have been to～」と「have gone to～」では意味が全く違うので、覚えておいてください。

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2次方程式の解法

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は2次方程式の解法についてです。




2次方程式の解法は主に3パターンあります。
①因数分解　②平方根の利用　③解の公式
どの解法がより早く解けるベストな方法なのか、問題を見て判断する必要があります。

当然、どんな2次方程式でも解の公式を使えば解くことができます。しかし、解の公式を使うと解くのに時間がかかるため、ベストな方法ではありません。ですから、解の公式に頼らずにベストな方法を考えることが大切です。


では、これから例を3題挙げてみます。①から③のどの解法がベストか考えてみましょう。

まずは、2次方程式　x^2-4x+3=0　です。まずは因数分解できるかどうかを考えましょう。
この式は因数分解できます。因数分解すると、(x-1)(x-3)=0となり、解はx=1, 3となります。

因数分解をすればこのようにすぐ解が求まります。解の公式を使って計算するより時間がかからないので、この問題は因数分解がベストな解法です。


次は、2次方程式　(x-3)^2-5=0　です。この問題を見て気が付いて欲しいことは、平方根を利用できるということです。
左辺がわざわざ2乗の形になっているので、x^2=aとして、解はx=±√aであることを思い出すことがポイントです。間違っても決して左辺を展開してはいけません。

上記の事を用いると、(x-3)^2=5となり、解はx=3±√5となります。

この式は有理数の範囲で因数分解できないため、平方根の利用がベストな解法です。


最後は、2次方程式　x^2-x-1=0　です。まずは因数分解を考えるのですが、この式は有理数の範囲で因数分解できないため、次に平方根の利用を考えます。

しかし、2乗の形ではないため、無理やり2乗の形を作ります。
両辺に1/4を足すと、x^2-x+(1/4)=1+(1/4)となり、左辺の式を因数分解すると
(x-(1/2))^2=5/4となります。後は平方根を利用して、解はx=(1/2)±(√5/2)となります。


このように工夫すれば平方根を利用することができますが、この方法を思いつかなければいけません。ですが、この工夫が瞬時に思いつくとは限りません。

そこで、最後の手段として解の公式を使うのです。




2次方程式を解くときは、より早く解けるベストな解法を判断して、それが見つからないときに解の公式を使うようにしましょう。

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関数（数学）の勉強法

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今回は数学における関数の勉強法についてです。




中学で比例・反比例や1次関数、2乗に比例する関数（y=ax^2）を学びます。多くの生徒が、基本問題は解けても応用問題になると解けなくなってしまうと思います。

その理由は、式だけを立てて計算だけで考えてしまうからです。

1次関数の利用や放物線と直線の応用問題では、グラフとx軸やy軸などで囲まれた図形の面積を問われることが多くあります。

問題の意味を正しく理解するためには、まずグラフを書くようにしましょう。そして、そのグラフに必要なことを書き込みましょう。（必要な部分に目盛りをふったり、指定された図形の面積がわかるように斜線を引くなど。）

このグラフや図を見て解き方を考え、式を立てて計算するのです。最初からただやみくもに式を立てて計算しても答えにはたどり着きません。大事なことはまずグラフや図を書くことです。



この作業を素早くできるように練習することが、関数の応用問題を解けるようにする近道だと思います。

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