ガウスの法則と微積分

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、ガウスの法則と微積分についてです。










高校物理では、電気量Q[C]の帯電体から出る電気力線の総数は4πkQ本であると学びます。説明は次のようにされると思います。


正電荷を中心とする半径r[m]の球面S上では、電場の方向は球面Sに垂直で、電場の強さはクーロンの法則により
　　　　　　　　E=kQ/r^2 [N/C]　…①
となります。

Sを貫く電気力線の数は単位面積当たりE本であると定義し、Sの面積は4πr^2[㎡]ですから、Sを貫く電気力線の総数をN本とすると
　　　　　　　N=E×4πr^2=4πkQ　…②
となります。


これが高校物理での説明になります。しかし、ガウスの法則は一般に積分形で表されます。微積分を用いてもう少し掘り下げて説明したいと思います。


電荷Qを持つ点電荷からはN本の電気力線が出ているとします。電荷から発生する電気力線の本数は電荷の大きさに比例するとしたので、比例係数を1/εとして
　　　　　　　　　　　　N=Q/ε
とします。

この点電荷を中心として、半径rの球面Sでの電気力線の密度について考えます。球面Sの面積は4πr^2ですから、電気力線の密度は
　　　　　　　　N/4πr^2=Q/4πεr^2
となります。

ここで、①、②式より次の関係式が成り立ちます。
　　　　　E=N/4πr^2=kQ/r^2=Q/4πεr^2

これにより、両者の比例係数の間には
　　　　　　　　　　　　k=1/4πε
という関係式が成り立ちます。kはクーロンの法則の比例定数といい、εは誘電率といいます。


ここまでが準備段階です。ガウスの法則を説明する前段階として、微小な面積dSを持つ曲面を考えます。微小面積dS上では、それを垂直に貫く電場Eが存在し、Eは電気力線の密度を表しているので、この面を垂直に貫く電気力線の本数dNは
　　　　　　　　　　　　dN=EdS
と表すことができます。

次に、微小な面積を持つ平面をつなぎ合わせてある閉曲面Sを作ったとします。この曲面Sを垂直に貫く電気力線の本数Nは
　　　　　　　　　　N=∫dN=∫SEdS
と表すことができます。

ここで、∫Sは積分を閉曲面Sの領域全てに適用することを意味します。


いよいよ本題です。ガウスの法則とは、「ある閉曲面を垂直に貫く電気力線の本数はその曲面の内部に存在する電荷の総量Qに比例し、Q/εに等しい」ことであり、積分形で表すと次のようになります。
　　　　　　　　　　　∫SEdS=Q/ε

ただし、今までの説明は全て点電荷におけるガウスの法則です。一般的な形とは異なりますので、ご注意ください。


最後に、点電荷において閉曲面を垂直に貫く電気力線の本数は
　　　　　　　　　　　　∫SEdS
です。さらに、∫SdSはガウスの法則を適用している曲面の面積を意味しているので
　　　　　　　　　　　∫SdS=4πr^2
　　　　　　　　 ∴　∫SEdS=E4πr^2
となります。

ガウスの法則を適用すると
　　　　　　　　　　　∫SEdS=Q/ε
　　　　　　　　　　E4πr^2=Q/ε
                          ∴　E=Q/4πεr^2


このようにして、ガウスの法則を適用することである曲面上における電場を求めることができます。この結果は、クーロンの法則で与えた点電荷による電場そのものになります。














つまり、クーロンの法則は点電荷に対してガウスの法則を適用した結果として得られる法則なのです。

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