錐体の体積と積分

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、錐体の体積と積分についてです。








積分は面積だけでなく、体積も求めることができます。

ある立体が区間a≦x≦bにおいて、座標がxである点を通りx軸に垂直な平面による立体の切り口の断面積をS(x)とすると、体積Vは次の式で与えられます。
　　　　　　　　　V=∫(a~b)S(x)dx

なぜこうして求められるのか簡単に説明します。


区間a≦x≦bをn等分し、その分点の座標をaに近い方から順にx1, x2, …, xn-1 とします。また、a=x0, b=xn, (b-a)/n=Δx とおきます。そして、各分点を通りx軸に垂直な平面でこの立体を分割します。このとき
                                                                                    n
Vn=S(x1)Δx+S(x2)Δx+…+S(xn)Δx=∑S(xk)Δx
                                                                                  k=1
とすると、n→∞のときVn→Vと考えられます。したがって、区分求積法と定積分の関係から
                                n
V=lim(n→∞)∑S(xk)Δx=∫(a~b)S(x)dx
                              k=1
となります。


では、実際に錐体の体積を積分を用いて求めてみましょう。底面積がS, 高さがhの錐体において、座標がxである点を通りx軸に垂直な平面による錐体の切り口の断面積をS(x)とします。この断面と底面は相似になります。

よって、断面と底面の相似比はx:hですから、面積比はS(x):S=x^2:h^2

よって　S(x)=Sx^2/h^2

したがって
V=∫(0~h)S(x)dx=(S/h^2)∫(0~h)x^2dx
  =(S/h^2)[x^3/3](0~h)=Sh/3










錐体の体積は÷3をする理由が、積分によって説明することができます。

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