運動方程式と力学的エネルギー保存則

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、運動方程式と力学的エネルギー保存則についてです。








力学的エネルギー保存則は、運動方程式から導くことができます。まず、次のような運動方程式を立てます。
　　　　　　　　　　ma=-kx+mg
これは重力mgと弾性力-kxが働いている物体の運動方程式です。

この運動方程式の両辺に速度vを掛けます。
　　　　　　　　　mav=-kxv+mgv　…①

次に、両辺を微分形で表します。①式は
　　d(mv^2/2)/dt=d(-kx^2/2 +mgx)/dt　…②
と微分形で表すことができます。

左辺は運動エネルギー、右辺は弾性力による位置エネルギーと重力による位置エネルギーのそれぞれ時間微分の形になっています。なぜこうなるのか確かめてみましょう。


まず、②式の左辺は
d(mv^2/2)/dt=(m/2)dv^2/dt
　　　　　　　  =(m/2)2vdv/dt=mav
となるので、①式の左辺と同じになります。

次に、②式の右辺は
d(-kx^2/2 +mgx)/dt=d(-kx^2/2)/dt +d(mgx)/dt
                                  =(-k/2)dx^2/dt +mgdx/dt
                                  =-kxv+mgv
となるので、①式の右辺と同じになります。


最後に、②式の右辺を左辺に移項すると
              d(mv^2/2 +kx^2/2 -mgx)/dt=0
という形になります。










この式が表すことは、運動エネルギーと位置エネルギーの和（力学的エネルギー）を、時間微分したら0になるということです。つまり、力学的エネルギーは常に一定になるので、力学的エネルギーは保存されるということがわかります。

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