運動方程式と運動量保存則

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、運動方程式と運動量保存則についてです。









運動量保存則は、運動方程式 ma=F の両辺を時間tで積分することで導くことができます。
　　　　　　　　　　m∫adt=∫Fdt　…①

ここで、力積Iは、力Fと時間tの関係を示したF-t図の面積から求められるので、①式は
　　　　　　　　　m∫dvdt/dt=I　…②
と表すことができます。

さらに、力積を受ける前の速度をv, 力積を受けた後の速度をv'とすると、②式は
　　　　　　　　　　　mv'-mv=I　…③
となり、運動量の変化は受けた力積に等しいことがわかります。


最後に、物体A, Bが衝突する前後で、A, Bの運動量の和は変わらないことを次のように示します。

速度v1で運動する質量m1の物体Aが、速度v2で運動する質量m2の物体Bに追いついて衝突し、速度がそれぞれv1', v2'になったとします。

このとき、BがAから受ける力をFとすると、作用・反作用の法則によって、AがBから受ける力は-Fとなります。③式から、このときの運動量の変化と力積の関係は、
　　　　　　　Aについて　m1v1'-m1v1=-I
　　　　　　　Bについて　m2v2'-m2v2=I
となります。

この2式を辺々加えると、次の式が得られます。
　　　　　　　　m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'










この式が表すことは、全体の運動量は変化しない、すなわち運動量が保存されるということがわかります。

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