正n角形と円の面積

 綾瀬個別指導学院　糸井です。

今回は、正n角形と円の面積についてです。

半径rの円に内接する正n角形を考えます。ここで、nを限りなく大きくしていくと、この正n角形はほとんど円と見分けがつかなくなります。具体例として、正65537角形の形状は、辺の数が非常に多いためほとんど円と見分けがつきません。

では、この正n角形の面積をSnとすると、Snは

　　　　　　　Sn=(1/2)r²sin(2π/n)×n

と表されます。この式でn→∞とするとき、Sn→πr²（円の面積）となることを確かめてみましょう。

2π/n=θとすると、n→∞のときθ→0となります。したがって

limSn=lim{(1/2)r²sin(2π/n)×n}

n→∞　  n→∞　

        =lim{(1/2)r²sinθ×(2π/θ)}

          θ→0

        =lim{πr²×(sinθ/θ)}

          θ→0

        =πr²

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