放射性元素の崩壊と微積分

綾瀬個別指導学院（講師編）です。

今回は、放射性元素の崩壊と微積分についてです。









kを0でない定数とするとき、指数関数f(x)=e^kxを微分すると
　　　　　　　　　f'(x)=ke^kx=kf(x)
となります。

この関係f'(x)=kf(x)は、放射性元素の崩壊現象など、自然現象にもよく現れます。yをxの関数、kを0でない定数とするとき、次の微分方程式を解いてみましょう。
　　　　　　　　　　　　y'=ky

(i) y=0は明らかに解となります。
(ii) y≠0のとき、方程式を変形すると
　　　　　　　　(1/y)dy/dx=k
両辺をxで積分すると
　　　　　　∫(1/y)dydx/dx=∫kdx
　　　　　　　　　　　∫dy/y=∫kdx
　　　　　　　　　　　log|y|=kx+C　（Cは任意定数）
                                      |y|=(e^C)e^kx
                                         y=±(e^C)e^kx

ここで、±e^C=AとおくとAは0以外の任意の値をとります。(i)で求めた解y=0は、y=Ae^kxにおいて、A=0とおくと得られます。したがって、求める解はy=Ae^kx, Aは任意定数となります。


ところで、同じ原子核では、同一時間内に崩壊する原子核の数は、そのとき存在する原子核の数に比例します。

よって崩壊の式は、t=0における放射性原子核の数をN0, 時刻tにおいて崩壊しないで存在する数をN, 半減期をTとすると
　　　　　　　　　　N=N0(1/2)^t/T
となります。












y=Ae^kxと崩壊の式を比較してみると、微分方程式y'=kyと関係が深いことが分かります。

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